Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ \R \setminus\{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei reelle Zahlen $\neq 0$. Zeige, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Q^{\times} ,1, \cdot)
}
{ \subseteq }{ ( \R^{\times} ,1,\cdot)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
sind, wenn es eine reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{bt
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{at
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten $\R$ als $\Q$-Vektorraum. Man mache sich klar, dass in
\mathl{\R/\Q}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [r]
}
{ = }{ [s]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für zwei reelle Zahlen
\mathl{r,s}{} genau dann gilt, wenn die Differenz
\mathl{r-s}{} eine rationale Zahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Für reelle Zahlen $r,s$ setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \sim }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn es
\definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} {us+v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\R$ ist.
}{Bestimme die Äquivalenzklasse zu
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 7 } }}{.}
}{Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht
\definitionsverweis {kommensurabel}{}{}
sind, die aber unter $\sim$ äquivalent sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$ und
\mathbed {v_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren in
\mathl{V}{.} Zeige, dass die Gesamtfamilie
\mathl{u_i, i \in I, v_j, j \in J}{,} genau dann eine Basis von $V$ ist, wenn
\mathbed {[v_j]} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Basis des
\definitionsverweis {Restklassenraumes}{}{}
$V/U$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{i+1}/V_{i}
}
{ \cong} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 0 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ sei die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ \subseteq }{V_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2
}
{ \subseteq }{V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Untervektorräume. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_1 \oplus V_2/ { \left( U_1 \oplus U_2 \right) }
}
{ \cong} { V_1/U_1 \oplus V_2/U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext
des Faktorisierungssatzes.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$. Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U} {V/U
} {}
auf dem
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{V/U}{} mit der Eigenschaft
\definitionsverweis {induziert}{}{,}
dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & V & \\ \!\!\!\!\! \pi \downarrow & & \downarrow \pi \!\!\!\!\! & \\ V/U & \stackrel{ \varphi_{V/U} }{\longrightarrow} & V/U & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_s}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$ und
\mathl{u_1 , \ldots , u_r ,v_1 , \ldots , v_s}{} eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in
Aufgabe 48.8
definierte lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U } {V/U
} {}
bezüglich der Basis
\mathl{[v_1] , \ldots , [v_s]}{} von
\mathl{V/U}{} beschrieben?
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche man
Aufgabe 16.23.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{\varphi_U}{} die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $\varphi$ auf $U$ und
\maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U } {V/U
} {}
die in
Aufgabe 48.8
definierte lineare Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ =} { \det \varphi_U \cdot \det \varphi_{V/U}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{\varphi_U}{} die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $\varphi$ auf $U$ und
\maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U } {V/U
} {}
die in
Aufgabe 48.8
definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { \chi_{ \varphi_U } \cdot \chi_{ \varphi_{V/U} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\R^{\N_+}}{} der
\definitionsverweis {reelle Vektorraum}{}{}
aller
\definitionsverweis {Folgen}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Teilmengen
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
sind.
\aufzaehlungsechs{Die Menge der konstanten Folgen.
}{Die Menge $\R^{(\N_+)}$ der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von $0$ verschieden sind.
}{Die Menge $F$ der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
}{Die Menge $E$ der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
}{Die Menge der
\definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{.}
}{Die Menge $N$ der
\definitionsverweis {Nullfolgen}{}{.}
}
Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die beiden reellen Folgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {\begin{cases} 1\, , \text{ wenn } n \text{ gerade}\, , \\ 0\, , \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {\begin{cases} 1\, , \text{ wenn } n \text{ ungerade}\, , \\ 0\, , \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir verwenden einige Bezeichnungen aus
Aufgabe 48.12.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die beiden Folgen
\mathkor {} {x_n} {und} {y_n} {}
in
\mathl{\R^{\N_+}/ \R^{(\N_+)}}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die beiden Folgen
\mathkor {} {x_n} {und} {y_n} {}
in
\mathl{\R^{\N_+}/ F}{} linear abhängig sind.
}{Wie sieht es in
\mathl{\R^{\N_+}/ N}{} aus?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^{\N_+}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {reelle Vektorraum}{}{}
aller
\definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Nullfolgen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W/U
}
{ \cong} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch die Abbildung \maabbeledisp {} {S^1 \times \R} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {(u,t)} { u e^t } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} gegeben ist. Wie ist jeweils die Gruppenstruktur gegeben? Skizziere, welche markanten Teilmengen des Zylinders und der gelochten Ebene sich unter diesem Isomorphismus entsprechen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Wir betrachten ${\mathbb C}$ als
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und den
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R
}
{ =} {\R \cdot 1
}
{ \subset} { {\mathbb C}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}/\R}{} zwei
\definitionsverweis {komplexe Zahlen}{}{}
genau dann gleich werden, wenn ihre
\definitionsverweis {Imaginärteile}{}{}
übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $U_1,U_2,U$ seien
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V/U
} {}
die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Für die
\definitionsverweis {Bildräume}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(U_1) \cap \varphi(U_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 \cap (U_2 + U)
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (U_1+U) \cap (U_2 + U)
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
zusammen mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{.}
Zeige, dass auf dem
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{V/T}{} ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle'}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle [v] , [w] \right\rangle'
}
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (1+3+2)}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Wir definieren auf $E$ eine Relation $\sim$ durch
\mathdisp {P \sim Q \text{ genau dann, wenn } \exists v \in U \text{ mit } P = Q+v} { . }
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \defeq }{E/\sim
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein affiner Raum über dem
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{V/U}{} ist.
}{Zeige, dass die kanonische Projektion
\maabbdisp {} {E} {E/\sim
} {}
eine
\definitionsverweis {affine Abbildung}{}{}
ist.
}
}
{} {}
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