Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 47
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Bringe die Restklassengruppe mit der in Aufgabe 3.7 direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.
Aufgabe *
Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.
Aufgabe
Aufgabe
Bestimme die Restklassengruppe zu .
Aufgabe
Finde in der Permutationsgruppe einen Normalteiler und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.
Aufgabe
Es sei eine Gruppe und ein Element mit dem (nach Lemma 44.12) zugehörigen Gruppenhomomorphismus
Beschreibe die kanonische Faktorisierung von gemäß Satz 47.8.
Aufgabe *
Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus
gibt, in dessen Bild das Element liegt.
Aufgabe
Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.
Aufgabe
Seien und Gruppen und seien und Gruppenhomomorphismen mit surjektiv und mit . Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus
Aufgabe
Zeige, dass für jede reelle Zahl die Restklassengruppen untereinander isomorph sind.
Für die folgende Aufgabe muss man verwenden, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Faktorisierung in Primzahlen besitzt.
Aufgabe
Es sei eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus
der und alle anderen Primzahlen auf schickt.
Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.
Aufgabe
Es seien und Gruppen und seien und Normalteiler. Zeige, dass ein Normalteiler in ist und dass eine Isomorphie
vorliegt.
Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.
Eine Teilmenge heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl und jedem Elemente mit
gibt.
Aufgabe
Es sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.
Aufgabe *
Aufgabe
Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede Untergruppe von ein Ideal ist.
Aufgabe
Zeige, dass eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.
Aufgabe *
Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.
Aufgabe *
Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- teilt .
- Es ist .
- Es gibt einen Ringhomomorphismus
- Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
Aufgabe *
Es sei und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass eine Einheit modulo genau dann ist, wenn und teilerfremd sind.
Aufgabe *
Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- ist ein Körper.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist eine Primzahl.
Aufgabe
Es sei die Menge aller Cauchy-Folgen in .
- Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.
- Zeige, dass die Teilmenge , die aus allen Nullfolgen besteht, ein Ideal ist.
- Zeige, dass ein Körper ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und Gruppen mit der Produktgruppe . Zeige, dass die Gruppe ein Normalteiler in ist, und dass die Restklassengruppe kanonisch isomorph zu ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass es eine Gruppe und einen Gruppenhomomorphismus
mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann rational ist, wenn ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.
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