Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 2

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen (aufeinander abgebildeten) Fingerspitzen berühren.

1. Realisiere die „natürliche“ Bijektion.
2. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (benachbarte Transposition).
3. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (Transposition).
4. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren.
5. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
6. Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?

Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

ob ${}f$ injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von ${}\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Aufgabe *

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe

Eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

heißt streng wachsend, wenn für alle ${}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit ${}x_{1}<x_{2}$ auch ${}f(x_{1})<f(x_{2})$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion ${}f$ injektiv ist.

Aufgabe

Ist die Abbildung

$\mathbb {Q} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {Q} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

injektiv? Ist sie surjektiv?

Aufgabe *

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{3}+3x^{2}-4\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}+5x-3$

definiert sind.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo ${}G$ die Leute in einem Kurs sind und ${}M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die möglichen (in Hinblick auf die Teilnehmer) kursinternen Parties sind. Bei Aufgabe 2.16 denke man an ${}A=$ Damen im Kurs, ${}B=$ Herren im Kurs.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

${\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,T\longmapsto \complement T,$

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

${\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.$

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}G=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Man mache sich diese Situation für ${}M=N=[0,1]$ und ${}L=\mathbb {R}$ klar.

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und wie sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vorstellen?

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}T,T_{1},T_{2}\subseteq M$):

1. ${}F^{-1}(T_{1}\cap T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cap F^{-1}(T_{2})\,,$

2. ${}F^{-1}(T_{1}\cup T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cup F^{-1}(T_{2})\,,$

3. ${}F^{-1}(M\setminus T)=L\setminus F^{-1}(T)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(L)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,S\longmapsto F(S),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}S,S_{1},S_{2}\subseteq L$):

1. ${}F(S_{1}\cap S_{2})\subseteq F(S_{1})\cap F(S_{2})$,
2. ${}F(S_{1}\cup S_{2})=F(S_{1})\cup F(S_{2})$,
3. ${}F(L\setminus S)\supseteq F(L)\setminus F(S)$.

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

injektiv ist.

Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Es bezeichne ${}\Psi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\Psi$.

1. Berechne

   $\Psi (6,5,2,8),\,\Psi ^{2}(6,5,2,8),\,\Psi ^{3}(6,5,2,8),\,\Psi ^{4}(6,5,2,8)\,...,$

   bis das Ergebnis das Nulltupel ${}(0,0,0,0)$ ist.

2. Berechne

   $\Psi (1,10,100,1000),\,\Psi ^{2}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{3}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{4}(1,10,100,1000)\,...,$

   bis das Ergebnis das Nulltupel ${}(0,0,0,0)$ ist.

3. Zeige ${}\Psi ^{4}(0,0,n,0)=(0,0,0,0)$ für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Bestimme, ob ${}\Psi$ injektiv und ob ${}\Psi$ surjektiv ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {Q} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} _{\geq 0}^{4},$

die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 23.16.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{4}+3x^{2}-2x+5\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{3}-x^{2}+6x-1$

definiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Man beschreibe eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.

Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge ${}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$

die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}2$	${}5$	${}6$	${}1$	${}4$	${}3$	${}7$	${}7$

gegeben ist. Berechne ${}\varphi ^{1003}$, also die ${}1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von ${}\varphi$ mit sich selbst.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left({\mathfrak {P}}\,(M),{\mathfrak {P}}\,(L)\right)},\,f\longmapsto f^{-1},$

bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.

a) Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv ist.

b) Es sei ${}L\neq \emptyset$. Zeige, dass ${}\Psi$ nicht surjektiv ist.

Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.

Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen ${}\Psi ^{n}(a,b,c,d)$ für ${}n\leq 25$ nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .