Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 8 \\7 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^2$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob die folgenden Vektoren \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. \aufzaehlungvier{$(-1,1,-1)$, $(0,6,4)$, $(1,2,3)$, im $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R^3$. }{$1+ { \mathrm i}$, $1+2{ \mathrm i}$ im $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ${\mathbb C}$. }{$1+{ \mathrm i}$, $1+2{ \mathrm i}$ im ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ${\mathbb C}$. }{$1$, $\sqrt{3}$ im $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\3\\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 0\\-1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn es einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, für den die Familie eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Untervektorraums}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x = z \right\} }
}
{ \subset} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Im $\R^3$ seien die beiden
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungsechs{Wenn die Familie
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig.
}{Die leere Familie ist linear unabhängig.
}{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
}{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
}{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zwei Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {u} {}
sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \Q^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass $U$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
\zusatzklammer {ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und
\maabbeledisp {\psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} { V
} { \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} } { s_1 v_1 + s_2 v_2 + \cdots + s_n v_n
} {,}
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von
Bemerkung 7.12.
Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im $K^n$ in die Vektoraddition in $V$ überführt, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_ \mathfrak{ v } { \left( \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_1 \\\vdots\\ t_n \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { \psi_ \mathfrak{ v } \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} + \psi_ \mathfrak{ v } \begin{pmatrix} t_1 \\\vdots\\ t_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $K^n$ und
\maabbeledisp {\psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} { K^n
} { \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} } { s_1 v_1 + s_2 v_2 + \cdots + s_n v_n
} {,}
die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von
Bemerkung 7.12.
Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im $K^n$ verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei
\mathbed {u_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine weitere Vektorenfamilie aus $V$. Für jedes
\mathl{n \in \N_+}{} gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_1 , \ldots , v_n \rangle
}
{ =} { \langle u_1 , \ldots , u_n \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathbed {u_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $\R$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_n
}
{ =} { 1+2X+3X^2 + \cdots + (n+1)X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathbed {F_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $\R[X]$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise
Satz 7.11
für eine beliebige
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise endliche} {} {}
Vektorenfamilie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der
Satz von Hamel
keineswegs selbstverständlich ist.
\aufzaehlungdrei{Die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-Vektorraum betrachtet.
}{Die Menge der reellen Folgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R^\N
}
{ =} { { \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid x_n \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Menge aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { K^{\N_+}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
aller
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in $K$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}
a) Zeige
\zusatzklammer {ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden} {} {,} dass die Menge der Nullfolgen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ (x_n)_{n \in \N_+} \mid (x_n)_{n \in \N_+} \text{ konvergiert gegen 0} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $V$ ist.
b) Sind die beiden Folgen
\mathdisp {( 1/n)_{ n \in \N_+} \text{ und } (1/n^2)_{ n \in \N_+}} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
in $V$?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\-3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass im Raum der
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} die Matrizen
\mathl{E_{ij}}{,} die genau an der Stelle $(i,j)$ den Eintrag $1$ und sonst überall den Eintrag $0$ haben, eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $\Q^n$ der
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{\Q^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix}
}
{ \in} { K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedener Vektor. Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{\R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $\R$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_n
}
{ =} { (X-1)(X-2) \cdots (X-n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathbed {P_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $\R[X]$ bildet.
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 7.19}