Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 7

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\7\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-5\\8\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.

1. ${}(-1,1,-1)$, ${}(0,6,4)$, ${}(1,2,3)$, im ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. ${}1+{\mathrm {i} }$, ${}1+2{\mathrm {i} }$ im ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}{\mathbb {C} }$.
3. ${}1+{\mathrm {i} }$, ${}1+2{\mathrm {i} }$ im ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum ${}{\mathbb {C} }$.
4. ${}1$, ${}{\sqrt {3}}$ im ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe

Zeige, dass die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\3\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\7\\0\\-1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt, für den die Familie eine Basis bildet.

Aufgabe

Bestimme eine Basis des Untervektorraums

${}U={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x=z\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe

Zeige, dass im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2+7{\mathrm {i} }\\3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}15+26{\mathrm {i} }\\13-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe *

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

${}U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und

${}V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
5. Ein Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn ${}v\neq 0$ ist.
6. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass ${}U$ eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Es sei ${}\lambda _{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen ${}\neq 0$ aus ${}K$. Zeige, dass die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von ${}V$, eine Basis von ${}V$) ist, wenn dies für die Familie ${}\lambda _{i}v_{i}$, ${}i\in I$, gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und

$\psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n},$

die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung 7.12. Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im ${}K^{n}$ in die Vektoraddition in ${}V$ überführt, dass also

${}\psi _{\mathfrak {v}}{\left({\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}\right)}=\psi _{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}+\psi _{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis des ${}K^{n}$ und

$\psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n},$

die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung 7.12. Zeige, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im ${}K^{n}$ verträglich ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Basis von ${}V$. Es sei ${}u_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine weitere Vektorenfamilie aus ${}V$. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gelte

${}\langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle =\langle u_{1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$

Zeige, dass auch ${}u_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Basis von ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {R} [X]$ der Polynomring über ${}\mathbb {R}$. Für ${}n\in \mathbb {N}$ setzen wir

${}F_{n}=1+2X+3X^{2}+\cdots +(n+1)X^{n}\,.$

Zeige, dass ${}F_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis des ${}\mathbb {R} [X]$ bildet.

Aufgabe

Formuliere und beweise Satz 7.11 für eine beliebige (nicht notwendigerweise endliche) Vektorenfamilie ${}v_{i}$, ${}i\in I$.

Aufgabe *

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$, wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

Aufgabe

Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der Satz von Hamel keineswegs selbstverständlich ist.

1. Die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum betrachtet.
2. Die Menge der reellen Folgen

   ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{n}\in \mathbb {R} \right\}}\,.$

3. Die Menge aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei

${}V=K^{\mathbb {N} _{+}}\,$

der Vektorraum aller Folgen in ${}K$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

${}U={\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}\mid (x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ konvergiert gegen 0}}\right\}}\,$

ein ${}K$- Untervektorraum von ${}V$ ist.

b) Sind die beiden Folgen

$(1/n)_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ und }}(1/n^{2})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$

linear unabhängig in ${}V$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2-7{\mathrm {i} }\\-3+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}5+6{\mathrm {i} }\\3-17{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im Raum der ${}m\times n$- Matrizen ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ die Matrizen ${}E_{ij}$, die genau an der Stelle ${}(i,j)$ den Eintrag ${}1$ und sonst überall den Eintrag ${}0$ haben, eine Basis bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{n}$ der ${}n$- dimensionale Standardraum über ${}\mathbb {Q}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Q} ^{n}$ eine Familie von ${}n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine ${}\mathbb {Q}$- Basis des ${}\mathbb {Q} ^{n}$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine ${}\mathbb {R}$-Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bildet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$

ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen mit ${}n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {R} [X]$ der Polynomring über ${}\mathbb {R}$. Wir setzen ${}P_{0}=1$, und für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ setzen wir

${}P_{n}=(X-1)(X-2)\cdots (X-n)\,.$

Zeige, dass ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis des ${}\mathbb {R} [X]$ bildet.

Tipp: Verwende Aufgabe 7.19