Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen

Einführung

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Bevor die Differenzierbarkeit allgemein auf topologischen Vektorräumen zu definieren, betrachten den Begriff der Differenzierbarkeit aus der Analysis und erweitern diesen dann auf topologische Vektoräume.

 
Tangente - dynamisch dargestellt

Differenzierbarkeit

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Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Punkte werden in Kontext von topolgischen Vektorräumen Elemente   aus dem topologischen Vektorraum  .

Beispiel - erweiterter Differenzierbarkeitsbegriff

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Sei   Algebra der komplexwertigen einmal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall   nach   und ist   eine Abbildung mit folgender Funktionsvorschrift:

 

Polynom im Funktionenraum

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Dabei sind   mit

  •  
  •  

Aufgabe - Evaluation der Funktion auf V

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  • Berechnen Sie für   mit   die Funktion  .
  • Versuchen Sie nun den, die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion, den Sie aus der Analysis kennen, auf die Differenzierbarkeit auf einem Funktionenraum durch den Grenzwert eines Differenzenquotienten zu übertragen. Welche Schwierigkeiten treten dabei auf?

Differenzierbarkeit mit mehreren Veränderlichen

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Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur für reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, für komplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe.

Thematische Einordnung der Differenzierbarkeit

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Die Frage nach der Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis. In diesem Kurs wird Differenzierbarkeit auf unitalen topologischen Algebren mit einem unital positiven Gaugefunktionalsystem betrachtet.

Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen

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Definitionen

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Schwarz: Graph der Funktion f
Rot: Graph der linearen Funktion g, die f in der Nähe der Stelle x0 approximiert
 
Zur 2. Definition der Differenzierbarkeit
 
Differenzierbare Funktionen sind genau diejenigen Funktionen, die lokal durch genau eine lineare Funktion approximierbar sind.

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion  , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich   ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. Eine solche Funktion   ist differenzierbar an einer Stelle   aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von   an dieser Stelle existiert. Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung:

1. Definition: Grenzwert Differenzenquotient

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Eine Funktion   ist genau dann differenzierbar an der Stelle   ihres Definitionsbereichs, wenn der beidseitige Grenzwert der Differenzenquotienten

 

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von   an der Stelle  , geschrieben  .

2. Definition: Taylorentwicklung bis zur 1. Ableitung

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Eine Funktion   ist genau dann differenzierbar an der Stelle   ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl   (die von   abhängen darf) und eine (ebenfalls von   abhängige) Funktion   (Fehler der Approximation) mit folgenden Eigenschaften existieren:

  •  
  • Für   geht   schneller als linear gegen 0, das heißt:  

Bemerkung zur Taylorentwicklung

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Die Funktion   lässt sich also in der Nähe von   durch eine lineare Funktion   mit

 

bis auf den Fehler   approximieren. Den Wert   bezeichnet man als die Ableitung von   an der Stelle  .

Bemerkung zur Geschichte der Definition

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Differenzierbare Funktionen sind damit genau diejenigen Funktionen, die sich lokal durch lineare Funktionen approximieren lassen (siehe Abbildung). Diese Definition geht auf Karl Weierstraß zurück und wird Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.


Definition: Differenzierbare Funktion

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Eine Funktion   heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle   ihres Definitionsbereichs   differenzierbar ist. Die Funktion   ordnet jedem   und die Ableitung   zu.   heißt dann Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung von  .

Erläuterungen 2 - Steigung der Tangente

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Die Ableitung von   an der Stelle   ist die Steigung dieser Tangente. Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt   und einen anderen Kurvenpunkt  . Die Funktion   ist also an der Stelle   differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang   gegen die Steigung der Tangente konvergieren.

Erläuterungen 3 - Partielle Ableitung

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Bei einer Funktion   in mehreren Veränderlichen mit   und   offen, kann man die partiellen Ableitungen   an der Stelle   ebenfalls als die Steigung dieser Tangente, wobei man alle Komponenten   des Arguments der Funktion   mit Ausnahme   als Konstanten auffasst und dann eine Ableitung der Form betrachtet

 

Beispiele für differenzierbare Funktionen

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Aus den Ableitungsregeln folgt:

  • Jede Funktion, die sich durch ein Polynom darstellen lässt, ist differenzierbar.
  • Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
  • Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.

Ableitung der Umkehrfunktion

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Die Umkehrfunktion   einer bijektiven differenzierbaren Funktion   ist genau dann an der Stelle   differenzierbar, wenn   ist.

Berechnung der Ableitung einer Funktion

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Die Parabelfunktion   ist für alle   differenzierbar. Sei   dann ist

 

und ihre Ableitung ist  .

Potenzreihen und Differenzierbarkeit

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Aus den Grenzwertsätzne für Potenzreihen folgt:

  • Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar.
  • In der komplexen Analysis liefert die einmalige komplexe Differenzierbarkeit (Holomorphie) auf einer offenen Menge   auch, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist. Damit lassen sich holomorphe Funktionen lokal in Potenzreihen entwickeln.

Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen

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Beispiel einer nicht stetig differenzierbaren Funktion
 
Die Funktion   mit   für   und   ist differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar

Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion

 

an jeder Stelle, inklusive  , differenzierbar

Differenzierbarkeit im Nullpunkt

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Die Funktion   ist u.a. in 0 differenzierbar, weil

 


Ableitung im Nullpunkt nicht stetig

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Die Ableitung

 

ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.

Definition: n-fache Differenzierbarkeit

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Eine Funktion   heißt zweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion   differenzierbar ist. Entsprechend wird dreimal, viermal, …,  -mal differenzierbar definiert. Die höheren Ableitungen werden mit  ,  ,  , …,   bezeichnet.

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit

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Da aus der Differenzierbarkeit einer Funktion die Stetigkeit folgt, sind bei einer zweimal differenzierbaren Funktion die Funktion   selbst und die erste Ableitung   automatisch stetig. Die zweite Ableitung   braucht jedoch nicht stetig zu sein. Entsprechend sind bei einer  -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen  ,  , … bis zur  -ten Ableitung   stetig. Für die  -te Ableitung   braucht dies jedoch nicht zu gelten. Ist diese auch stetig, so nennt man    -mal stetig differenzierbar. Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt.

Vektorraum von differenzierbaren Funktionen

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Sei   ein Körper.   bezeichnet die Menge aller  -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge   und dem Wertebereich  . Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt  . Eine  -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse  , kurz: Funktion der Klasse   oder  -Funktion. Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse   oder  -Funktion.

Erweiterung der partiellen Differenzierbarkeit auf Funktionenräumen

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Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. Die Funktion   heißt partiell differenzierbar am Punkt   in Richtung  , falls die partielle Ableitung

 

existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf   als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.

Die Funktion   heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt alle partiellen Ableitungen existieren. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von   nach   sind.

Richtungsableitung in Richtung eines Funktionsvektors

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Ist   ein Einheitsvektor in einem normierten Vektorraum, so ist die (beidseitige) Richtungsableitung von   in Richtung   an der Stelle   definiert als

 .

Ableitung wird auch Differential genannt.

Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen

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  • Ist   eine Abbildung von einem Funktionenraum V in einen Funktionenraum W.
  • Die Einträge der Jacobi-Funktion fasst alle partiellen Ableitungen in Richtung der Einheitsvektoren.
     .
Man erhält die Richtungsableitung in Richtung  , indem man die totale Ableitung (eine lineare Abbildung) auf den Vektor   anwendet.
 
  • Betrachten Sie analoge Strukturen in einem normierten Raum.

Umkehrungen ohne Stetigkeit der Ableitungen

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Die Umkehrungen gelten nicht:

  • Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind.
  • Auch aus der beidseitigen Differenzierbarkeit in alle Richtungen folgt nicht totale Differenzierbarkeit. Selbst dann nicht, wenn der Kandidat für die totale Ableitung, die Abbildung  , linear ist.

Umkehrungen mit Stetigkeit der Ableitungen

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Anders ist es, wenn man nicht nur die Existenz, sondern auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen voraussetzt.

  • Ist   stetig partiell differenzierbar, so ist   auch total differenzierbar.

Man nennt stetig partiell differenzierbare Funktionen deshalb auch einfach stetig differenzierbar. Auch hier gilt die Umkehrung nicht:

  • Aus totaler Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Implikationen für Differenzierbarkeitseigenschaften

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Insgesamt gilt somit:

stetige partielle Differenzierbarkeit   totale Differenzierbarkeit   Differenzierbarkeit in jede Richtung   partielle Differenzierbarkeit,

Es gelten jedoch keine der Umkehrungen.

Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

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Eine Abbildung   von einer offenen Menge   in den Vektorraum   lässt sich durch ihre Komponentenfunktionen darstellen:

  mit   für  .

Differenzierbarkeit von   lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der   zurückführen.   ist (im Punkt  ) genau dann partiell differenzierbar (differenzierbar in Richtung des Vektors  , total differenzierbar, stetig partiell differenzierbar), wenn alle Komponentenfunktionen   diese Eigenschaft haben.

Jakobi-Matrix

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Ist   im Punkt   total differenzierbar, so ist   eine lineare Abbildung von   nach  . Ihre Darstellungsmatrix, die Jacobi-Matrix, besteht aus den partiellen Ableitungen der Komponentenfunktion  :

 

und die Richtungsableitung von   im Punkt   in Richtung   ist das Bild des Vektors   unter der linearen Abbildung  .

Funktionen und Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen

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Auf unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten, deshalb gibt es keine partielle Differenzierbarkeit. Die Begriffe Richtungsableitung und totale Differenzierbarkeit lassen sich jedoch auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinern. Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle. Typische Beispiel für unendlichdimensionale Vektorräume sind Funktionenräume, also Vektorräume, deren „Vektoren“ Funktionen sind. Zur Unterscheidung nennt man die auf diesen Vektorräume definierten Funktionen Funktionale und nennt Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen Operatoren.

Gâteaux-Differenzierbarkeit

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Der Richtungsableitung entspricht die Gâteaux-Ableitung. Gegeben sei ein normierter Vektorraum   (das heißt ein (typischerweise unendlichdimensionaler) Vektorraum zusammen mit einer Norm  ), eine offene Teilmenge   und ein Funktional  . Die Gâteaux-Ableitung von   an einem „Punkt“   in Richtung eines Vektors   ist dann gegeben durch

 

falls der Grenzwert existiert.

Bemerkung - Normierte Gateaux-Ableitung

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Der Wert der Ableitung ist in der Regel von der Länge von   abhängig. Eine Normierung des Vektors   mit mit   entspricht der Normierung der partiellen Ableitung in Richtung der Einheitsvektoren. Im normierten Fall ergibt sich:

 

Aufgaben

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  • Sei   der Vektorraum der stetigen Funktionen mit der Maximumsnorm   auf   mit  . Gegeben ist die Abbildung   mit  . Betrachten Sie die Gateaux-Ableitung von   an der Stelle   in Richtung   mit   und  .
  • Geben Sie eine Beispiel für eine Richtungsableitung an, bei dem sich die Richtungsableitung in Richtung   und   unterscheiden.

Gâteaux-Abbildung

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Falls die Gâteaux-Ableitung für jedes   existiert, dann ist eine Abbildung  ,   erklärt. Aus der Definition folgt sofort, dass diese Abbildung positiv homogen ist, also   für alle  .  

Bemerkung - Existenz aller Richtungsableitungen

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Wie im Endlichdimensionalen folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen nicht, dass   additiv und damit linear ist. Auch wenn die Abbildung linear ist, folgt nicht, dass sie stetig ist.

Bemerkung - Unterschiedliche nicht verträgliche Definitionen

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Für den Begriff Gâteaux-Differenzierbarkeit gibt es mehrere nicht verträgliche Konventionen:

Manche Autoren nennen ein Funktional   Gâteaux-differenzierbar im Punkt  , falls alle   existieren, und bezeichnen dann die Abbildung   als Gateaux-Ableitung von   im Punkt  . Andere fordern zusätzlich, dass   linear und stetig ist.

Gâteaux-Differenzierbarkeit für Operatoren

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Ganz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren   von einem normierten Vektorraum   in einen andern normierten Vektorraum   (typischerweise ein Banachraum). Die in der Definition der Gâteaux-Ableitung geforderte Konvergenz versteht sich dann im Sinne der Norm   auf  . Entsprechendes gilt für die Stetigkeit von  .

Fréchet-Differenzierbarkeit

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Der totalen Differenzierbarkeit im Endlichdimensionalen entspricht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen die Fréchet-Differenzierbarkeit. Gegeben seien Banachräume   und  , eine offene Teilmenge  , eine Abbildung   und ein Punkt  .

Definition - Fréchet-differenzierbar

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Die Abbildung   heißt Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung   und eine Abbildung   existieren, sodass für alle   mit   gilt

 

Dabei steht im Zähler die Norm von  , im Nenner die von  .

Bezeichung - Fréchet-Ableitung

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Der lineare Operator   heißt in diesem Fall Fréchet-Ableitung von   an der Stelle  .

Zusammenhänge

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Wie im Endlichdimensionalen ist jede Fréchet-differenzierbare Abbildung   auch Gâteaux-differenzierbar und die Gâteaux-Ableitung stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein. Umgekehrt braucht   im Punkt   selbst dann nicht Fréchet-differenzierbar zu sein, wenn die Gâteaux-Ableitung   linear und stetig ist.

Begriffserweiterungen

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Folgende Konzepte sind Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeit:

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  Commons: Differenzierbarkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

   Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

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Literatur

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Im Prinzip sämtliche einführende Literatur zu Analysis und/oder Differentialrechnung. Beispielsweise seien genannt:


Seiteninformation

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