Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen
Einführung
BearbeitenBevor die Differenzierbarkeit allgemein auf topologischen Vektorräumen zu definieren, betrachten den Begriff der Differenzierbarkeit aus der Analysis und erweitern diesen dann auf topologische Vektoräume.
Differenzierbarkeit
BearbeitenAls Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Punkte werden in Kontext von topolgischen Vektorräumen Elemente aus dem topologischen Vektorraum .
Beispiel - erweiterter Differenzierbarkeitsbegriff
BearbeitenSei Algebra der komplexwertigen einmal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall nach und ist eine Abbildung mit folgender Funktionsvorschrift:
Polynom im Funktionenraum
BearbeitenDabei sind mit
Aufgabe - Evaluation der Funktion auf V
Bearbeiten- Berechnen Sie für mit die Funktion .
- Versuchen Sie nun den, die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion, den Sie aus der Analysis kennen, auf die Differenzierbarkeit auf einem Funktionenraum durch den Grenzwert eines Differenzenquotienten zu übertragen. Welche Schwierigkeiten treten dabei auf?
Differenzierbarkeit mit mehreren Veränderlichen
BearbeitenDer Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur für reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, für komplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe.
Thematische Einordnung der Differenzierbarkeit
BearbeitenDie Frage nach der Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis. In diesem Kurs wird Differenzierbarkeit auf unitalen topologischen Algebren mit einem unital positiven Gaugefunktionalsystem betrachtet.
Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen
BearbeitenDefinitionen
BearbeitenIm einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. Eine solche Funktion ist differenzierbar an einer Stelle aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von an dieser Stelle existiert. Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung:
1. Definition: Grenzwert Differenzenquotient
BearbeitenEine Funktion ist genau dann differenzierbar an der Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn der beidseitige Grenzwert der Differenzenquotienten
existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von an der Stelle , geschrieben .
2. Definition: Taylorentwicklung bis zur 1. Ableitung
BearbeitenEine Funktion ist genau dann differenzierbar an der Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl (die von abhängen darf) und eine (ebenfalls von abhängige) Funktion (Fehler der Approximation) mit folgenden Eigenschaften existieren:
- Für geht schneller als linear gegen 0, das heißt:
Bemerkung zur Taylorentwicklung
BearbeitenDie Funktion lässt sich also in der Nähe von durch eine lineare Funktion mit
bis auf den Fehler approximieren. Den Wert bezeichnet man als die Ableitung von an der Stelle .
Bemerkung zur Geschichte der Definition
BearbeitenDifferenzierbare Funktionen sind damit genau diejenigen Funktionen, die sich lokal durch lineare Funktionen approximieren lassen (siehe Abbildung). Diese Definition geht auf Karl Weierstraß zurück und wird Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.
Definition: Differenzierbare Funktion
BearbeitenEine Funktion heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Die Funktion ordnet jedem und die Ableitung zu. heißt dann Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung von .
Erläuterungen 2 - Steigung der Tangente
BearbeitenDie Ableitung von an der Stelle ist die Steigung dieser Tangente. Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt und einen anderen Kurvenpunkt . Die Funktion ist also an der Stelle differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang gegen die Steigung der Tangente konvergieren.
Erläuterungen 3 - Partielle Ableitung
BearbeitenBei einer Funktion in mehreren Veränderlichen mit und offen, kann man die partiellen Ableitungen an der Stelle ebenfalls als die Steigung dieser Tangente, wobei man alle Komponenten des Arguments der Funktion mit Ausnahme als Konstanten auffasst und dann eine Ableitung der Form betrachtet
Beispiele für differenzierbare Funktionen
BearbeitenAus den Ableitungsregeln folgt:
- Jede Funktion, die sich durch ein Polynom darstellen lässt, ist differenzierbar.
- Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
- Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
Ableitung der Umkehrfunktion
BearbeitenDie Umkehrfunktion einer bijektiven differenzierbaren Funktion ist genau dann an der Stelle differenzierbar, wenn ist.
Berechnung der Ableitung einer Funktion
BearbeitenDie Parabelfunktion ist für alle differenzierbar. Sei dann ist
und ihre Ableitung ist .
Potenzreihen und Differenzierbarkeit
BearbeitenAus den Grenzwertsätzne für Potenzreihen folgt:
- Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar.
- In der komplexen Analysis liefert die einmalige komplexe Differenzierbarkeit (Holomorphie) auf einer offenen Menge auch, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist. Damit lassen sich holomorphe Funktionen lokal in Potenzreihen entwickeln.
Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen
BearbeitenEine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion
an jeder Stelle, inklusive , differenzierbar
Differenzierbarkeit im Nullpunkt
BearbeitenDie Funktion ist u.a. in 0 differenzierbar, weil
Ableitung im Nullpunkt nicht stetig
BearbeitenDie Ableitung
ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.
Definition: n-fache Differenzierbarkeit
BearbeitenEine Funktion heißt zweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion differenzierbar ist. Entsprechend wird dreimal, viermal, …, -mal differenzierbar definiert. Die höheren Ableitungen werden mit , , , …, bezeichnet.
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
BearbeitenDa aus der Differenzierbarkeit einer Funktion die Stetigkeit folgt, sind bei einer zweimal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und die erste Ableitung automatisch stetig. Die zweite Ableitung braucht jedoch nicht stetig zu sein. Entsprechend sind bei einer -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen , , … bis zur -ten Ableitung stetig. Für die -te Ableitung braucht dies jedoch nicht zu gelten. Ist diese auch stetig, so nennt man -mal stetig differenzierbar. Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt.
Vektorraum von differenzierbaren Funktionen
BearbeitenSei ein Körper. bezeichnet die Menge aller -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge und dem Wertebereich . Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt . Eine -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse , kurz: Funktion der Klasse oder -Funktion. Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse oder -Funktion.
Erweiterung der partiellen Differenzierbarkeit auf Funktionenräumen
BearbeitenDies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. Die Funktion heißt partiell differenzierbar am Punkt in Richtung , falls die partielle Ableitung
existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.
Die Funktion heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt alle partiellen Ableitungen existieren. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von nach sind.
Richtungsableitung in Richtung eines Funktionsvektors
BearbeitenIst ein Einheitsvektor in einem normierten Vektorraum, so ist die (beidseitige) Richtungsableitung von in Richtung an der Stelle definiert als
- .
Ableitung wird auch Differential genannt.
Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen
Bearbeiten- Ist eine Abbildung von einem Funktionenraum V in einen Funktionenraum W.
- Die Einträge der Jacobi-Funktion fasst alle partiellen Ableitungen in Richtung der Einheitsvektoren.
- .
- Man erhält die Richtungsableitung in Richtung , indem man die totale Ableitung (eine lineare Abbildung) auf den Vektor anwendet.
- Betrachten Sie analoge Strukturen in einem normierten Raum.
Umkehrungen ohne Stetigkeit der Ableitungen
BearbeitenDie Umkehrungen gelten nicht:
- Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind.
- Auch aus der beidseitigen Differenzierbarkeit in alle Richtungen folgt nicht totale Differenzierbarkeit. Selbst dann nicht, wenn der Kandidat für die totale Ableitung, die Abbildung , linear ist.
Umkehrungen mit Stetigkeit der Ableitungen
BearbeitenAnders ist es, wenn man nicht nur die Existenz, sondern auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen voraussetzt.
- Ist stetig partiell differenzierbar, so ist auch total differenzierbar.
Man nennt stetig partiell differenzierbare Funktionen deshalb auch einfach stetig differenzierbar. Auch hier gilt die Umkehrung nicht:
- Aus totaler Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.
Implikationen für Differenzierbarkeitseigenschaften
BearbeitenInsgesamt gilt somit:
- stetige partielle Differenzierbarkeit totale Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit in jede Richtung partielle Differenzierbarkeit,
Es gelten jedoch keine der Umkehrungen.
Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen
BearbeitenEine Abbildung von einer offenen Menge in den Vektorraum lässt sich durch ihre Komponentenfunktionen darstellen:
- mit für .
Differenzierbarkeit von lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der zurückführen. ist (im Punkt ) genau dann partiell differenzierbar (differenzierbar in Richtung des Vektors , total differenzierbar, stetig partiell differenzierbar), wenn alle Komponentenfunktionen diese Eigenschaft haben.
Jakobi-Matrix
BearbeitenIst im Punkt total differenzierbar, so ist eine lineare Abbildung von nach . Ihre Darstellungsmatrix, die Jacobi-Matrix, besteht aus den partiellen Ableitungen der Komponentenfunktion :
und die Richtungsableitung von im Punkt in Richtung ist das Bild des Vektors unter der linearen Abbildung .
Funktionen und Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen
BearbeitenAuf unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten, deshalb gibt es keine partielle Differenzierbarkeit. Die Begriffe Richtungsableitung und totale Differenzierbarkeit lassen sich jedoch auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinern. Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle. Typische Beispiel für unendlichdimensionale Vektorräume sind Funktionenräume, also Vektorräume, deren „Vektoren“ Funktionen sind. Zur Unterscheidung nennt man die auf diesen Vektorräume definierten Funktionen Funktionale und nennt Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen Operatoren.
Gâteaux-Differenzierbarkeit
BearbeitenDer Richtungsableitung entspricht die Gâteaux-Ableitung. Gegeben sei ein normierter Vektorraum (das heißt ein (typischerweise unendlichdimensionaler) Vektorraum zusammen mit einer Norm ), eine offene Teilmenge und ein Funktional . Die Gâteaux-Ableitung von an einem „Punkt“ in Richtung eines Vektors ist dann gegeben durch
falls der Grenzwert existiert.
Bemerkung - Normierte Gateaux-Ableitung
BearbeitenDer Wert der Ableitung ist in der Regel von der Länge von abhängig. Eine Normierung des Vektors mit mit entspricht der Normierung der partiellen Ableitung in Richtung der Einheitsvektoren. Im normierten Fall ergibt sich:
Aufgaben
Bearbeiten- Sei der Vektorraum der stetigen Funktionen mit der Maximumsnorm auf mit . Gegeben ist die Abbildung mit . Betrachten Sie die Gateaux-Ableitung von an der Stelle in Richtung mit und .
- Geben Sie eine Beispiel für eine Richtungsableitung an, bei dem sich die Richtungsableitung in Richtung und unterscheiden.
Gâteaux-Abbildung
BearbeitenFalls die Gâteaux-Ableitung für jedes existiert, dann ist eine Abbildung , erklärt. Aus der Definition folgt sofort, dass diese Abbildung positiv homogen ist, also für alle .
Bemerkung - Existenz aller Richtungsableitungen
BearbeitenWie im Endlichdimensionalen folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen nicht, dass additiv und damit linear ist. Auch wenn die Abbildung linear ist, folgt nicht, dass sie stetig ist.
Bemerkung - Unterschiedliche nicht verträgliche Definitionen
BearbeitenFür den Begriff Gâteaux-Differenzierbarkeit gibt es mehrere nicht verträgliche Konventionen:
Manche Autoren nennen ein Funktional Gâteaux-differenzierbar im Punkt , falls alle existieren, und bezeichnen dann die Abbildung als Gateaux-Ableitung von im Punkt . Andere fordern zusätzlich, dass linear und stetig ist.
Gâteaux-Differenzierbarkeit für Operatoren
BearbeitenGanz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren von einem normierten Vektorraum in einen andern normierten Vektorraum (typischerweise ein Banachraum). Die in der Definition der Gâteaux-Ableitung geforderte Konvergenz versteht sich dann im Sinne der Norm auf . Entsprechendes gilt für die Stetigkeit von .
Fréchet-Differenzierbarkeit
BearbeitenDer totalen Differenzierbarkeit im Endlichdimensionalen entspricht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen die Fréchet-Differenzierbarkeit. Gegeben seien Banachräume und , eine offene Teilmenge , eine Abbildung und ein Punkt .
Definition - Fréchet-differenzierbar
BearbeitenDie Abbildung heißt Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung und eine Abbildung existieren, sodass für alle mit gilt
Dabei steht im Zähler die Norm von , im Nenner die von .
Bezeichung - Fréchet-Ableitung
BearbeitenDer lineare Operator heißt in diesem Fall Fréchet-Ableitung von an der Stelle .
Zusammenhänge
BearbeitenWie im Endlichdimensionalen ist jede Fréchet-differenzierbare Abbildung auch Gâteaux-differenzierbar und die Gâteaux-Ableitung stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein. Umgekehrt braucht im Punkt selbst dann nicht Fréchet-differenzierbar zu sein, wenn die Gâteaux-Ableitung linear und stetig ist.
Begriffserweiterungen
BearbeitenFolgende Konzepte sind Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeit:
- schwache Ableitungen
- Differenzierbarkeit im Sinne von Distributionen
- Radon-Nikodým-Ableitung
Weblinks
BearbeitenWikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit – Lern- und Lehrmaterialien
Einzelnachweise
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Literatur
BearbeitenIm Prinzip sämtliche einführende Literatur zu Analysis und/oder Differentialrechnung. Beispielsweise seien genannt:
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
- Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
- Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bände. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
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