Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 7

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$ . Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Q}$ kein Element ${}x$ mit ${}x^{2}=2$ gibt.

Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen ${}M\subseteq \mathbb {Q}$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

${}\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$ ,
${}\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$ ,
${}]-5,2]$ ,
${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ ,
${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$ ,
${}\mathbb {Q} _{-}$ ,
${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$ ,
${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 4\right\}}$ ,
${}{\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$ .

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$ .

Aufgabe

Schreibe ein Computer-Programm, das zu einer vorgegebenen rationalen Zahl mittels des Heron-Verfahrens die Quadratwurzel der Zahl bis auf ${}10$ Nachkommastellen (im Dezimalsystem) genau berechnet.

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ eine Polynomfunktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$ . Zeige durch Induktion über ${}d$ , dass dann auch die durch

{}y_{n}:=P(x_{n})\,

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen ${}P(x)$ .

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$ . Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ . Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$ . Zeige, dass dann auch die Folge

{\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

{\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$ . Zeige, dass dann auch die durch

{}y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , und mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0$ derart, dass die Folge

{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }

gegen ${}0$ konvergiert,
gegen ${}1$ konvergiert,
divergiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und seien ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ und ${}Q(x)=\sum _{i=0}^{e}b_{i}x^{i}$ Polynome mit ${}a_{d},b_{e}\neq 0$ . Man bestimme in Abhängigkeit von ${}d$ und ${}e$ , ob die durch

z_{n}={\frac {P(n)}{Q(n)}}

(für ${}n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (8 Punkte)

Mathematiker haben, so ein weitverbreitetes Vorurteil, Schwierigkeiten, ihre Hemden korrekt zuzuknöpfen. Ein Hemd hat auf der einen Seite eine von oben nach unten geordnete Knopfreihe bestehend aus ${}n$ Knöpfen und auf der anderen Seite eine ebenso geordnete Lochreihe aus ${}n$ Löchern. Beide Reihen seien von oben nach unten mit ${}1$ bis ${}n$ durchnummeriert. Eine Zuknöpfung ${}\sigma$ ordnet jedem Knopf genau ein Loch zu, sie ist also eine Abbildung

\sigma \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}},\,i\longmapsto \sigma (i),

wobei die identische Abbildung ${}i\mapsto i$ als korrekte (oder triviale) Zuknöpfung gilt. Der Zerstreutheitsindex ${}Z(\sigma )$ ist ein wichtiges numerisches Maß^[1] für die Zerstreutheit (oder Kreativität) einer Zuknöpfung ${}\sigma$ . Er ist definiert über die Abbildung

Z\colon A_{n}=\operatorname {Abb} \,{\left({\{1,\ldots ,n\}},{\{1,\ldots ,n\}}\right)}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,\sigma \longmapsto Z(\sigma )=\sum _{i=1}^{n}\vert {i-\sigma (i)}\vert .

Zeige: Eine Zuknöpfung ${}\sigma$ ist genau dann korrekt, wenn ${}Z(\sigma )=0$ ist.^[2]
Kann eine Zuknöpfung den Zerstreutheitsindex ${}1$ haben? Wie sieht es bei bijektiven Zuknöpfungen aus?
Bestimme
$a_{n}=\max {\left\{Z(\sigma )\mid {\sigma \in A_{n}}\right\}}$

in Abhängigkeit von ${}n\in \mathbb {N}$ .
Es sei ${}B_{n}\subseteq A_{n}$ die Menge aller bijektiven Zuknöpfungen. Bestimme
$b_{n}=\max {\left\{Z(\sigma )\mid {\sigma \in B_{n}}\right\}}$

für ${}n=0,1,2,3,4,5$ .
Es sei ${}C_{n}\subseteq A_{n}$ die Menge aller konstanten Zuknöpfungen. Bestimme
$c_{n}=\max {\left\{Z(\sigma )\mid {\sigma \in C_{n}}\right\}}$

in Abhängigkeit von ${}n\in \mathbb {N}$ .
Eine Zuknöpfung ${}\sigma$ heißt semikorrekt,^[3] wenn ${}Z(\sigma )\leq n$ ist. Klassifiziere^[4] alle semikorrekten Zuknöpfungen bei ${}n\leq 3$ .

Fußnoten

↑ Ein solches Maß heißt auch eine Invariante. Es ist ein wichtiger Aspekt der Mathematik, nach Invarianten von mathematischen Objekten zu suchen, die wesentliche Eigenschaften von diesen Objekten ausdrücken. Die Berechnung von solchen Invarianten kann schwierig sein.
↑ Häufig liegt eine besondere Situation vor, wenn die Invariante den einfachsten Wert annimmt. Von daher sind Invarianten auch dafür da, einfache Objekte von schwierigen Objekten zu unterscheiden.
↑ Mit Hilfe von Invarianten kann man Eigenschaften von Objekten definieren. Eigenschaften, die „nahe“ an einem gewissen Begriff sind, werden häufig so bezeichnet, dass vor den Begriff eine Vorsilbe wie „quasi-, prä-, semi-, fast-, pseudo-“ etc. gestellt wird.
↑ Klassifiziere meint hier, dass man die verschiedenen Möglichkeiten auflisten soll. Es ist eine wichtige Zielsetzung innerhalb der Mathematik, eine strukturelle Übersicht über möglichst alle Objekte eines mathematischen Gebiets zu erlangen.

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[1] Ein solches Maß heißt auch eine Invariante. Es ist ein wichtiger Aspekt der Mathematik, nach Invarianten von mathematischen Objekten zu suchen, die wesentliche Eigenschaften von diesen Objekten ausdrücken. Die Berechnung von solchen Invarianten kann schwierig sein.

[2] Häufig liegt eine besondere Situation vor, wenn die Invariante den einfachsten Wert annimmt. Von daher sind Invarianten auch dafür da, einfache Objekte von schwierigen Objekten zu unterscheiden.

[3] Mit Hilfe von Invarianten kann man Eigenschaften von Objekten definieren. Eigenschaften, die „nahe“ an einem gewissen Begriff sind, werden häufig so bezeichnet, dass vor den Begriff eine Vorsilbe wie „quasi-, prä-, semi-, fast-, pseudo-“ etc. gestellt wird.

[4] Klassifiziere meint hier, dass man die verschiedenen Möglichkeiten auflisten soll. Es ist eine wichtige Zielsetzung innerhalb der Mathematik, eine strukturelle Übersicht über möglichst alle Objekte eines mathematischen Gebiets zu erlangen.

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