Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {3X^{5}+4X^{4}-2X^{2}+5X-6}{X^{3}}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}S,Q\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}\operatorname {grad} \,(Q)\geq 1$. Zeige, dass es ein ${}n\in \mathbb {N}$ und eine eindeutige Darstellung

${}S=R_{0}+R_{1}Q+R_{2}Q^{2}+\cdots +R_{n}Q^{n}\,$

mit Polynomen ${}R_{j}$ vom Grad ${}<\operatorname {grad} \,(Q)$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung in Beispiel 34.7 durch Einsetzen von einigen Zahlen für ${}X$.

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{2}(X^{2}+1)}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}-1}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}(X-1)^{3}}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{3}+4X^{2}+7}{X^{2}-X-2}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x^{2}+5}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x^{2}-5}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{2x^{2}+x-1}}.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)dy$

die Substitution ${}y=f(x)$ durchführt und anschließend partiell integriert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Schreibe die rationale Funktion

${\frac {2x^{3}-4x^{2}+5x-1}{4x+3}}$

in der neuen Variablen ${}u=4x+3$. Berechne die Stammfunktion über die reelle Partialbruchzerlegung und über die Substitution ${}u=4x+3$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{4}-1}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X(X-1)(X-2)(X-3)}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{7}+X^{4}-5X+3}{X^{8}+X^{6}-X^{4}-X^{2}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{1+x^{4}}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {3x-5}{(x^{2}+2x+7)^{2}}}.$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {7x^{6}-18x^{5}+8x^{3}-9x^{2}+2}{x^{7}-3x^{6}+2x^{4}-3x^{3}+2x-5}}.$