Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 79/latex
\setcounter{section}{79}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
eine Karte
\zusatzklammer {also
\mathl{U \subseteq M}{} und
\mathl{V \subseteq \R^n}{} offen} {} {.}
Zeige, dass $\alpha$ ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
von $M$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, wenn alle Einschränkungen
\mathl{\varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i}}{} differenzierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mathl{m \leq n}{} die Einbettung des Unterraumes
\mathl{\R^m}{} in den $\R^n$, die durch
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m) \mapsto (x_1 , \ldots , x_m,0 , \ldots , 0)}{} gegeben ist,
\definitionsverweis {beliebig oft differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Teilmenge}{}{}
\mathl{M\subseteq \R}{,} die keine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} von $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
zwei
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{}
des $\R^2$. Zeige, dass deren
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{M \cup N}{} ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_f
}
{ \subseteq }{ \R^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^{n+1}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\pi} {TM} {M } {} das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.} Zeige, dass diese Projektionsabbildung \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und es sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{8 (3+3+2)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,u,v) \in \R^4 \mid ux^m+vy^n = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^4$ ist.
b) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {M} {\R^2
} {(x,y,u,v)} {(x,y)
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
c) Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{10 (2+3+5)}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^2 } {x} {(x^2,x^3) } {.}
a) Zeige, dass diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
b) Zeige, dass $\varphi$ nicht in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.
c) Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist, aber keine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
und $M$ die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
in jedem Punkt dieser Faser
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sei. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
im Sinne von
Definition 51.5 mit dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
der
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {\pi} {TM} {M
} {}
das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{TM}{} selbst in natürlicher Weise eine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
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