Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 80/latex
\setcounter{section}{80}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1 \subseteq N_1} {und} {M_2 \subseteq N_2} {}
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass ihr
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
\mathl{N_1 \times N_2}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M \times M
} {x} {(x,x)
} {,}
die
\definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{}
in das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times M}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
$\varphi(M)$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Kreislinie}{}{}
$S^1$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $S^1$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in S^1}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {S^1} {S^1
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {} {T = S^1 \times S^1} {S^1
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {+} {M \times M} {M
} {}
und einer Abbildung
\maabbdisp {\cdot} {K \times M} {M
} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{}
mit
\mathdisp {\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y) \text{ und } \varphi(s x) = s \varphi(x)} { }
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \bigwedge^1 V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein
$m$-\definitionsverweis {dimensionaler
}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{n>m}{.} Zeige $\bigwedge^n V = 0$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
\mathl{T_{S_1}}{} der
$1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} $S^1$ mit dem
\definitionsverweis {Produkt}{}{} $S^1 \times \R$ gibt.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines $R$-Moduls verwendet \zusatzklammer {das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes} {} {.}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (M,+,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \stichwort {additiv} {} geschriebene
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Man nennt $M$ einen
\definitionswortpraemath {R}{ Modul }{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
\zusatzklammer {\stichwort {Skalarmultiplikation} {} genannt} {} {}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ C^1(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{}
auf $M$ und sei $F$ die Menge aller
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
auf $M$.
a) Definiere eine Addition auf $F$ derart, dass $F$ zu einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} wird.
b) Definiere eine Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {R \times F} {F } {(f,s)} {fs } {,} derart, dass $F$ zu einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{0 < r < R}{} und sei
\mathdisp {T = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }} { . }
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {S^1 \times S^1} {T
} {( \varphi, \psi) } {( (R +r \cos \psi) \cos \varphi, (R+ r \cos \psi ) \sin \varphi , r \sin \psi )
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{}
und seien
\mathl{P,Q \in T}{} zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung
\mathl{P,Q \in U \subseteq T}{} derart gibt, dass die Kartenabbildung
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
mit
\mathl{V= {]0,1[} \times {]0,1[}}{} ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {4 \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\3\\ -4 \end{pmatrix}} { }
im
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} als Linearkombination der Dachprodukte
\mathl{e_1 \wedge e_2}{,}
\mathl{e_1 \wedge e_3}{} und
\mathl{e_2 \wedge e_3}{} aus.
}
{} {}
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