Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 85/latex

\setcounter{section}{85}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} auf $V$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was besagt die in Lemma 85.3 beschriebene Korrespondenz zwischen \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{} und $1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} in dieser Situation?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{} die \definitionsverweis {Kartenabbildungen}{}{} \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} im Allgemeinen keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} \maabbdisp {T_P(\alpha)} {T_PU} {T_{\alpha(P)} V } {} induzieren \zusatzklammer {wenn
\mathl{T_PU}{} mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_P}{} und
\mathl{T_{\alpha(P)} V= \R^n}{} mit dem Standardskalarprodukt versehen ist} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ definiert man zu einem Tangentialvektor
\mathl{v \in T_PM}{} die Norm durch
\mathl{\Vert {v} \Vert =\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle_P }}{.}


\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {TM} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei die Koordinaten des $\R^3$ mit $x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ S^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bilden die Einschränkungen von \mathkor {} {dx} {und} {dy} {} auf $S^2$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des \definitionsverweis {Kotangentialraums}{}{}
\mathl{T^*_PS^2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass
\mathl{\R \times \R_+}{} mit der durch die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R_+} {\R } {(x,y)} {x^2+y^4 } {,} gegebenen Bilinearform eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe für jeden Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $K$ eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} in
\mathl{T_PK \subset \R^3}{} an \zusatzklammer {bezüglich der induzierten \definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Im $\R^3$ sei das \definitionsverweis {Ellipsoid}{}{}
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+3z^2 \leq 5 \right\} }} { }
und die Ebene
\mathdisp {M= { \left\{ (x,y,z) \mid 7x-3y-2z = 2 \right\} }} { }
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts
\mathl{M \cap E}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 85.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im $\R^3$ veranschaulicht.

}
{} {}