Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/15/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	2	3	3	3	10	3	5	7	4	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien zwei rationale Zahlen ${}x<y$ gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl ${}n$ die rationale Zahl

${}z_{n}:={\frac {x+ny}{1+n}}\,$

echt zwischen ${}x$ und ${}y$ liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen ${}z_{n}$ zueinander?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,$

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Nullfolge und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y=3x-2\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (10 (1+4+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Quadratwurzelfunktion

${}f(x):={\sqrt {x}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}f$ für die Stellen ${}x=0,1,4,9$.
2. Bestimme das Polynom ${}p(x)$ kleinsten Grades, das mit ${}f$ an den Stellen ${}x=0,1,4$ übereinstimmt.
3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}f$ und zu ${}p$ und die Intervalle, für die ${}f$ oberhalb bzw. unterhalb von ${}p$ verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}f(a)\geq g(a)$ und ${}f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe * (7 (1+1+3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\frac {1}{\sin x}}\,$

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von ${}f$.

b) Skizziere ${}f$ für ${}x$ zwischen ${}-2\pi$ und ${}2\pi$.

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von ${}f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ von ${}f$ im Punkt ${}{\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

${\begin{pmatrix}1&x\\x^{2}&{\frac {x+1}{x^{2}}}\end{pmatrix}}$

über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (X)$.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.