Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	4	1	2	4	4	6	7	7	4	1	3	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
3. Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.
4. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

5. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz.
2. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w f w f f f w w f f w

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

$0,1,2,3,\ldots ,998,999,1000$

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern ${}0,1,2,\ldots ,9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}2x\geq 7\,$

und

${}5x\leq 12\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}=1$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}=1$.

1. Berechne ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$.
2. Berechne ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$.
3. Berechne ${}x_{0}\cdot y_{0},\,x_{1}\cdot y_{1}$ und ${}x_{2}\cdot y_{2}$.
4. Konvergiert die Produktfolge ${}z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$ innerhalb der rationalen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige die Abschätzung

${}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {i}}}\leq 3{\sqrt {n}}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$, ${}w\in \mathbb {R}$ ein Punkt und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}w$. Zeige die Beziehung

${}f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,$

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

Aufgabe * (7 (1+1+5) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
3. Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ gibt, für den die Familie eine Basis bildet.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\,$

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

${}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&4&-5\\0&-1&4\\0&0&7\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$