Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/23/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 6 1 5 3 4 3 2 5 5 8 4 3 1 3 1 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper.
  2. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Der Kosinus hyperbolicus.
  4. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Eine -Matrix über einem Körper .
  6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in .
  2. Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.


Aufgabe * (6 (2+1+3) Punkte)

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

  1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
  2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
  3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
  4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.


Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Aufgabe * (8 (1+4+3) Punkte)

Es sei . Bestimme Polynome vom Grad , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) stimmt mit an den Stellen überein.

(b) stimmt mit in und in bis zur ersten Ableitung überein.

(c) stimmt mit in bis zur dritten Ableitung überein.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Polynom der Form

mit . Zeige, dass sowohl in als auch in die Tangente zu beschreibt. Skizziere die Situation.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

Welche Folgerung kann man daraus schließen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?