Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/35/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 3 2 6 5 5 7 3 5 3 4 4 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine streng wachsende Funktion .
  3. Eine Cauchy-Folge in .
  4. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  5. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  6. Eine Basis eines -Vektorraums .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
  2. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
  3. Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).


Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien Mengen. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

  1. .
  2. .


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die , links und rechts davon stehen unendlich viele (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

  1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als sind.
  2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?


Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

  1. Es sei ein Polynom über einem Körper der Form

    mit und . Zeige, dass die als einzige Nullstelle besitzt.

  2. Es sei ein Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige komplexe Nullstelle von ist. Zeige, dass die Form

    mit und hat.

  3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige reelle Nullstelle von ist, dass aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine reelle Folge und sei ein Element mit . Es gebe ein derart, dass

gelte für alle . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Dreieck soll die Grundseite und die Höhe besitzen (). Für welchen Höhenfußpunkt besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?


Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe den Zusammenhang

für allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.