Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/41/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	3	2	8	4	2	8	3	4	8	3	1	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind ${}150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = ${}30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

mit ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n$, wobei ${}a_{n}$ streng wachsend und ${}b_{n}$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ${}1$) und darin eingeschriebene regelmäßige ${}n$-Ecke.

1. 

   In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

2. 

   In den Kreis sei ein regelmäßiges ${}6$-Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Ordne die Zahlen

$\exp \left(0,6\right),\,\exp \left(0,7\right){\text{ und }}2$

gemäß ihrer Größe.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung von ${}X^{n}$ gleich ${}n!$ ist.

Aufgabe * (8 (2+5+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}$

zu einem Punkt ${}x\in I$.

1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

   ${}f(x)=a^{x}\,$

   mit einem ${}a\in \mathbb {R} _{+}$.

2. Es sei ${}f$ in ${}x\in I$ differenzierbar. Zeige

   ${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,$

3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}.$

a) Bestimme zu einer Geraden ${}y=sx$, ${}s>0$, die Schnittpunkte mit dem Graphen von ${}f$.

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt ${}(c,d)$ mit ${}c>0$, sein Basispunkt ${}(c,0)$ und der Nullpunkt ${}(0,0)$ ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von ${}f$ dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

a) Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}d$. Wie viele Elemente besitzt ${}V$?

b) Zeige, dass ein ${}K$- Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein ${}d$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im ${}\mathbb {R} ^{2}$ gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}2z&0&-z+1\\1&1&3\\z&2&-z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.