Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | 4 | 1 | 7 | 3 | 7 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Primzahl.
- Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
- Eine gerade Funktion .
- Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
- Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
- Eine Basis eines - Vektorraums .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
- Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
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Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei
eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung
auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass bijektiv ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung ( Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass
genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.
Aufgabe * (1 Punkt)
Schreibe das Polynom
als Produkt von Linearfaktoren in .
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)
- Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
- Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
- Es seien und reelle Folgen derart, dass gegen konvergiert. Es gebe ein
mit
für alle . Zeige, dass gegen konvergiert.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Zwischenwertsatz.
Aufgabe * (4 Punkte)
Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.
Aufgabe * (4 Punkte)
Wir betrachten die Quadratabbildung
für verschiedene Körper .
- Ist linear für
- Ist linear für
dem Körper mit zwei Elementen.
- Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?