Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/57/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 2 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Der Realteil einer komplexen Zahl .
  3. Eine Cauchy-Folge in .
  4. Die eulersche Zahl .
  5. Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Der Rang einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
  3. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne die Gaußklammer von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein reelles Polynom mit . Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten eine Schranke derart an, dass

für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei eine Nullfolge gegeben, das -te Folgenglied der -ten Folge sei mit bezeichnet. Ist die Folge , deren -tes Folgenglied durch

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Das Heron-Verfahren berechnet zu jedem mit dem fest gewählten Startwert eine von abhängige Folge . Beschreibe explizit die Funktionen

für .


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls von der -Achse und dem Graphen der Funktion

eingeschlossen wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Determinante von

über dem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu gibt.