Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/20/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 3 3 4 2 3 5 8 1 9 6 9 11 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
  2. Eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem (zeitabhängigen) Vektorfeld.
  3. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum .

  4. Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.

  5. Das Taylor-Polynom im Punkt vom Grad einer -fach differenzierbaren Abbildung
  6. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .
  3. Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.


Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Aufgabe * (5 Punkte)

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.


Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind.


Aufgabe * (6 (1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Determinante für - Matrizen als Funktion

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu und die kritischen Punkte.
  2. Untersuche auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
  3. Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum

    auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe * (9 (2+2+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .

c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.


Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).