Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x \in \R}{} und betrachte die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {t} { f(t) = t^x e^{-t}
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Extremwerte}{}{} dieser Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
für
\mathl{k \in \N}{} die Beziehung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, { \left( { \frac{ 2k-1 }{ 2 } } \right) } = { \frac{ \prod_{i = 1}^{k} (2i-1) }{ 2^k } } \cdot \sqrt{\pi}} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^x e^{-t} \, d t
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b)
Zeige, dass die Funktion
\mathl{H(x)}{} mit
\mathdisp {H(x) = \int_{ 1 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass
\mathl{10! \geq e^{11} +1}{} gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für
\mathl{x \geq 10}{} die Abschätzung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, (x) \geq e^x} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \sin t \text{ mit } y(\pi) = 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-4t+7 \text{ mit } y(2) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde alle Lösungen zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{}
der Abstand zwischen zwei Lösungen
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {}
zeitunabhängig ist, d.h. dass
\mathl{y_1(t)- y_2(t)}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
Man gebe ein Beispiel, dass dies bei \definitionsverweis {zeitunabhängigen Differentialgleichungen}{}{} nicht der Fall sein muss.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } (- \ln t)^x \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^3-2t+5 \text{ mit } y(3) = 4} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde eine Lösung zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { y+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ t^2+1 } } \text{ mit } y(1) = 2} { . }
}
{} {}
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