Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 29



Aufwärmaufgaben

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung



Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung



Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung



Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung



Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung



Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.



Es sei

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion und es sei eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei für einen Zeitpunkt . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 19.17, dass für alle . gilt.



a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.


Es sei ein reelles Intervall und seien

Funktionen. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass dann eine Lösung der Differentialgleichung

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen

die Differentialgleichung

erfüllen.



Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung



Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem



Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung



Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung




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