Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 30

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Skizziere die zugrunde liegenden Vektorfelder der Differentialgleichungen

$y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}$

sowie die in Beispiel 30.4, Beispiel 30.7 und Beispiel 30.8 angegebenen Lösungskurven.

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 30.4, Beispiel 30.7 und Beispiel 30.8 gefundenen Lösungskurven der Differentialgleichungen

$y'={\frac {1}{y}},\,y'=ty^{3}{\text{ und }}y'=-ty^{3}$

durch Ableiten.

Aufgabe

Interpretiere eine ortsunabhängige Differentialgleichung als eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen anhand des Lösungsansatzes für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

${}y'=y\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=e^{y},$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'={\frac {1}{\sin y}},$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Löse die Differentialgleichung

${}y'=ty\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe

Betrachte die in Beispiel 30.9 gefundenen Lösungen

${}y(t)={\frac {g}{1+\exp(-st)}}\,$

der logistischen Differentialgleichung.

a) Skizziere diese Funktion (für geeignete ${}s$ und ${}g$).

b) Bestimme die Grenzwerte für ${}t\rightarrow \infty$ und ${}t\rightarrow -\infty$.

c) Studiere das Monotonieverhalten dieser Funktionen.

d) Für welche ${}t$ besitzt die Ableitung von ${}y(t)$ ein Maximum (für die Funktion selbst bedeutet dies einen Wendepunkt, man spricht auch von einem Vitalitätsknick).

e) Über welche Symmetrien verfügen diese Funktionen?

Aufgabe *

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

$y'={\frac {t}{t^{2}-1}}y^{2}$

mit ${}t>1$ und ${}y<0$.

Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)\cdot y^{2}\,$

mit einer stetigen Funktion

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

auf einem Intervall ${}I'$ die Lösungen

${}y(t)=-{\frac {1}{G(t)}}\,$

besitzt, wobei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ mit ${}G(I')\subseteq \mathbb {R} _{+}$ sei.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=ty^{2},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

$y'=t^{3}y^{3},\,y>0,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

${}y'=ty+t\,$

mit

a) dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen,

b) dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

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