Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine wachsende Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Folge ${}f(n)$, ${}n\in \mathbb {N}$, genau dann gegen ${}b$ konvergiert, wenn

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b$

gilt, wenn also die Funktion für ${}x\rightarrow +\infty$ den Grenzwert ${}b$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

nicht vom gewählten Startpunkt ${}a\in I$ abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}I={]r,s[}$ ein beschränktes offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die sich auf ${}[r,s]$ stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert und mit dem bestimmten Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

übereinstimmt.

Aufgabe

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.15).

Aufgabe *

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe

Bestimme das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt.$

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein beschränktes Intervall und es sei

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}a$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass die Folge

$w_{n}=\int _{x_{n}}^{y_{n}}f(t)\,dt$

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}\,dx$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

derart, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$ existiert.

Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{3}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe (8 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)

Aufgaben zum Hochladen

Aufgabe (6 Punkte)

Erstelle für die rationale Funktion ${}f(x)={\frac {x-2}{x^{2}(x-3)}}$ eine Skizze, die die reelle Partialbruchzerlegung dieser Funktion darstellt.

Aufgabe (5 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.

Fußnoten

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