Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 3/latex

\setcounter{section}{3}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k } }
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} natürliche Zahlen sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n }
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n }
{ \geq} { n^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen zu \definitionsverweis {Real}{}{-} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Re} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} folgende Rechenregeln gelten. \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1} }
{ = }{ { \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ =} { \betrag { \overline{ z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw } }
{ =} { \betrag { z } \betrag { w } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { 1/z } }
{ = }{ 1/ \betrag { z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } }
{ \leq} { \betrag { z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die in Beispiel 3.16 angegebene Formel für die \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ a+b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung
\mathdisp {z^2+5 { \mathrm i} z-3=0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} $z$ die folgenden Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n 2^{n-1} }
{ =} { \sum_{k = 0}^n k \binom { n } { k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1,2,3,4,5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} die folgenden Rechenregeln gelten. \aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z+w } }
{ = }{ \overline{ z } + \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ -z } }
{ = }{ - \overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z \cdot w } }
{ = }{ \overline{ z } \cdot \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 1/z } }
{ = }{ 1/\overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \overline{ z } } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ az^2+bz+c }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mindestens eine komplexe Lösung $z$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
\mathdisp {z^3=1} { }
erfüllen.

}
{} {}



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