Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 3

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind.

Aufgabe

Beweise die Formel

${}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,.$

Aufgabe *

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{4}\,$

gilt.

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form ${}a+bi$ mit reellen Zahlen ${}a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

1. ${}(5+4{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$.
2. ${}(2+3{\mathrm {i} })(2-4{\mathrm {i} })+3(1-{\mathrm {i} })$.
3. ${}(2{\mathrm {i} }+3)^{2}$.
4. ${}{\mathrm {i} }^{1011}$.
5. ${}(-2+5{\mathrm {i} })^{-1}$.
6. ${}{\frac {4-3{\mathrm {i} }}{2+{\mathrm {i} }}}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}$.
4. Für ${}r\in \mathbb {R}$ ist

   $\operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.$

5. Es ist ${}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

1. Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.
4. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}$.
5. Für ${}z\neq 0$ ist ${}z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$.

Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Es ist ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}$.
2. Für reelles ${}z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist ${}\vert {z}\vert =0$ genau dann, wenn ${}z=0$ ist.

4. ${}\vert {z}\vert =\vert {\overline {z}}\vert \,.$

5. ${}\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert \,.$

6. Für ${}z\neq 0$ ist ${}\vert {1/z}\vert =1/\vert {z}\vert$.

7. ${}\vert {\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}\vert ,\vert {\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}}\vert \leq \vert {z}\vert \,.$

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 3.16 angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ im Fall ${}b<0$.

Aufgabe

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung

$z^{2}+5{\mathrm {i} }z-3=0.$

Aufgabe *

Zeige, dass für eine komplexe Zahl ${}z$ die folgenden Beziehungen gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z}}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}$.
2. Es ist ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$.
3. Es ist ${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel

${}n2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

$(1+{\mathrm {i} })^{n}$

für ${}n=1,2,3,4,5$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

1. Es ist ${}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$.
2. Es ist ${}{\overline {-z}}=-{\overline {z}}$.
3. Es ist ${}{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$.
4. Für ${}z\neq 0$ ist ${}{\overline {1/z}}=1/{\overline {z}}$.
5. Es ist ${}{\overline {\overline {z}}}=z$.
6. Es ist ${}{\overline {z}}=z$ genau dann, wenn ${}z\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ mit ${}a\neq 0$. Zeige, dass es für die Gleichung

${}az^{2}+bz+c=0\,$

mindestens eine komplexe Lösung ${}z$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde alle drei komplexen Zahlen ${}z$, die die Bedingung

$z^{3}=1$

erfüllen.

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