Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {G} {M} {L } {} eine Abbildung, die \mathkor {} {F \circ G = \operatorname{Id}_{ M } \,} {und} {G \circ F = \operatorname{Id}_{ L } \,} {} erfüllt. Zeige, dass dann $G$ die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} von $F$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
$L, M, N$ und $P$
Mengen und es seien
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,} \maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
und
\maabbeledisp {H} {N} {P
} {z} {H(z)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F)
}
{ =} { (H \circ G) \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R
} {}
Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei
\mathl{f=f_n \circ \cdots \circ f_1}{} ihre
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.}
Es sei $k$ die Anzahl der fallenden Funktionen unter den $f_i$. Zeige, dass bei $k$ gerade $f$
\definitionsverweis {wachsend}{}{} und bei $k$ ungerade $f$
\definitionsverweis {fallend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ gilt: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide ungleich $0$ sind, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ PQ
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
$2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass $F$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die
Bernoullische Ungleichung
zum Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f=g/h} {U} {\R } {,} wobei $U$ jeweils das \definitionsverweis {Komplement}{}{} der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms $h$ sei. \aufzaehlungsieben{$1/x$, }{$1/x^2$, }{$1/(x^2+1)$, }{$x/(x^2+1)$, }{$x^2/(x^2+1)$, }{$x^3/(x^2+1)$, }{$(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{}
Koeffizienten und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
von $P$. Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{}
$\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M
} {x} {\varphi(x)
} {,}
die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} }
gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {}
von $\varphi$ mit sich selbst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist auch $g$ surjektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {}
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