Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 4

Injektive und surjektive Abbildungen

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$

• injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente

${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

• surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

  ${}F(x)=y\,$

  gibt.

• bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung ${}F$ diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung

${}F(x)=y\,$

(in den beiden Variablen ${}x$ und ${}y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ mindestens eine Lösung

${}x\in L\,$

für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ maximal eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ genau eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen ${}x$ und ${}x'$ aus der Voraussetzung ${}F(x)=F(x')$ erschließt, dass ${}x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus ${}x\neq x'$ auf ${}F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen ${}2$ und ${}-2$ beide auf ${}4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn ${}x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir

${}x>y\geq 0\,.$

Doch dann ist auch ${}x^{2}>y^{2}$ und insbesondere ${}x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv und surjektiv.

Definition

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Definition

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

Es gilt also

${}(G\circ F)(x):=G(F(x))\,,$

wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).

Lemma

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

und

$H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$

Abbildungen.

Dann ist

${}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 4.6.

$\Box$

Satz

Seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}n$ Elementen. Dann sind für eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow N$

die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.

Polynome

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

Dabei heißen die Zahlen ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Koeffizienten des Polynoms. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit ${}a_{i}=0$ für alle ${}i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als ${}a_{0}$. Beim Nullpolynom sind überhaupt alle Koeffizienten gleich ${}0$. Mit dem Summenzeichen kann man ein Polynom kurz als ${}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ schreiben.

Definition

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient ${}a_{n}$, der zum Grad ${}n$ des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck ${}a_{n}X^{n}$ heißt Leitterm des Polynoms.

Die Gesamtheit aller Polynome über einem Körper ${}K$ heißt Polynomring über ${}K$, er wird mit ${}K[X]$ bezeichnet. Dabei nennt man ${}X$ die Variable des Polynomrings.

Zwei Polynome

$P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,\,{\text{ und }}\,\,Q=\sum _{i=0}^{m}b_{i}X^{i}$

werden komponentenweise miteinander addiert, d.h. die Koeffizienten der Summe ${}P+Q$ sind einfach die Summe der Koeffizienten der beiden Polynome. Bei ${}n>m$ sind die „fehlenden“ Koeffizienten von ${}Q$ als ${}0$ zu interpretieren. Diese Addition ist offenbar assoziativ und kommutativ, das Nullpolynom ist das neutrale Element und das negative Polynom ${}-P$ erhält man, indem man jeden Koeffizienten von ${}P$ negiert.

Zwei Polynome lassen sich auch miteinander multiplizieren, wobei man

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

setzt und diese Multiplikationsregel „distributiv fortsetzt“, d.h. man multipliziert „alles mit allem“ und muss dann aufaddieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

Für den Grad gelten die beiden folgenden Regeln

• ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,.$

• ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Der Graph einer Polynomfunktion von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ vom Grad ${}5$.

In ein Polynom ${}P\in K[X]$ kann man ein Element ${}a\in K$ einsetzen, indem man die Variable ${}X$ an jeder Stelle durch ${}a$ ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung

$K\longrightarrow K,\,a\longmapsto P(a),$

die die durch das Polynom definierte Polynomfunktion heißt.

Wenn ${}P$ und ${}Q$ Polynome sind, so kann man die Hintereinanderschaltung ${}P\circ Q$ einfach beschreiben: man muss in ${}P$ überall die Variable ${}X$ durch ${}Q$ ersetzen (und alles ausmultiplizieren und aufaddieren). Das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.

Division mit Rest

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$. Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

$P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

${}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$

sodass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

$\Box$

 

Die Berechnung der Polynome ${}Q$ und ${}R$ heißt Polynomdivision. Wir geben dazu ein Beispiel über den komplexen Zahlen.

Beispiel

Wir führen die Polynomdivision

$P=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }{\text{ durch }}T=(1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }$

aus. Das Inverse zu ${}1+{\mathrm {i} }$ ist ${}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }$ und daher ist

${}{\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })(1+{\mathrm {i} })^{-1}&=(4+3{\mathrm {i} }){\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}\\&=2+{\frac {3}{2}}-2{\mathrm {i} }+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\&={\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Daher beginnt ${}Q$ mit ${}{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X$ und es ist

${}{\begin{aligned}((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X&=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\\\,\end{aligned}}$

Dies muss man nun von ${}P$ abziehen und erhält

${}{\begin{aligned}P-{\left((4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\right)}&={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left({\frac {19}{2}}-{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X+5{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$

Auf dieses Polynom (nennen wir es ${}P'$) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet

${}{\begin{aligned}{\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}&=-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\\end{aligned}}$

Daher ist der konstante Term von ${}Q$ gleich ${}-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }$ und es ergibt sich

${\left((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ziehen wir von ${}P'$ ab und erhalten

$P'-{\left({\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ist der Rest ${}R$, die vollständige Division mit Rest ist also

${}{\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }&=((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}+{\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$.

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Beweis

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad ${}d$.

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 4.11 und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Lemma 2.4  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$.

Dann besitzt jedes ${}P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung

$P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$.

Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt.

Beweis

Siehe Aufgabe 4.15.

$\Box$

Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist.

Der Fundamentalsatz der Algebra

In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Daraus folgt direkt, dass jedes Polynom vom Grad ${}2$ über den komplexen Zahlen eine Nullstelle besitzt. Allgemeiner gilt der folgende Fundamentalsatz der Algebra, den wir hier ohne Beweis erwähnen.

Satz

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von ${}0$ verschiedene Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann

${}P=c(X-z_{1})(X-z_{2})\cdot (X-z_{n})\,$

mit eindeutig bestimmten komplexen Zahlen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ schreiben (wobei Wiederholungen erlaubt sind).

Rationale Funktionen

Man kann auch Brüche ${}P/Q$ von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion ${}1/X$.

Definition

Zu Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Fußnoten

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