Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Die Fakultätsfunktion}
Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n!
}
{ = }{ \cdot(n-1)\cdot(n-2) \cdots 3\cdot 2 \cdot 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt die rekursive Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n!
}
{ = }{ n ((n-1)!)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gibt es eine Möglichkeit, diese für die natürlichen Zahlen definierte Funktion auf $\R_{\geq 0}$ durch eine differenzierbare Funktion $f$ fortzusetzen? Ist es sogar möglich, dass dabei die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x f(x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes $x$ gilt? Wir werden mit Hilfe von uneigentlichen Integralen zeigen, dass dies in der Tat möglich ist.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {\R_{+}} {\R
} {t} { t^xe^{-t}
} {.}
Wir behaupten, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } t^xe^{-t} \, d t} { }
existiert. Für den rechten Rand
\zusatzklammer {also $\infty$} {} {}
betrachten wir eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 17.15} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t^n e^{ - { \frac{ t }{ 2 } } }
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \geq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ a }^{ b } t^x e^{-t} \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } t^n e^{-t} \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } t^n e^{- { \frac{ t }{ 2 } } } e^{- { \frac{ t }{ 2 } } } \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } e^{- { \frac{ t }{ 2 } } } \, d t
}
{ =} { 2 { \left( e^{ - { \frac{ a }{ 2 } } } - e^{ - { \frac{ b }{ 2 } } } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { 2 e^{ - { \frac{ a }{ 2 } } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Für
\mathl{b \rightarrow \infty}{} wächst das linke Integral und ist durch
\mathl{2 e^{ - { \frac{ a }{ 2 } } }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{,}
sodass der Grenzwert existiert. Für das Verhalten am linken Rand
\zusatzklammer {das nur bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ -1
}
{ < }{x
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
problematisch ist} {} {}
müssen wir wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{-t}
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 27.4
nur
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } t^x \, d t}{} betrachten. Eine Stammfunktion davon ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x+1 } } t^{x+1}}{,} deren Exponent positiv ist, sodass der Limes für
\mathl{t \rightarrow 0}{} existiert.
}
Das uneigentliche Integral
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
existiert also für
\mathl{x \in \R,\ x > -1}{.} Dies ist der Ausgangspunkt für die Definition der Fakultätsfunktion.
\inputdefinition
{}
{
Für
\mathbed {x \in \R} {}
{x > -1} {}
{} {} {} {,}
heißt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x \longmapsto \operatorname{Fak} \, (x) \defeq \int_{ 0 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
die \definitionswort {Fakultätsfunktion}{.}
}
Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma(x)
}
{ \defeq} { \operatorname{Fak} \, (x-1)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } t^{x-1} e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion heißt \stichwort {Gammafunktion} {,} mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird, deutlicher.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Factorial_plot.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Factorial plot.png } {Mathacw} {} {PD} {} {}
\inputfaktbeweis
{Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
besitzt die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ = }{ x \cdot \operatorname{Fak} \, (x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (n)
}
{ = }{ n!
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für natürliche Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, { \left( - \frac{1}{2} \right) }
}
{ = }{ \sqrt{\pi}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) Mittels
partieller Integration
ergibt sich
\zusatzklammer {für reelle Zahlen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ b
}
{ \geq }{ a
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bei fixiertem
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ a }^{ b } t^x e^{-t} \, d t
}
{ =} { -t^x e^{-t} | _{ a } ^{ b } + \int_{ a }^{ b } x t^{x-1} e^{-t} \, d t
}
{ =} { -b^x e^{-b} + a^x e^{-a} + x \cdot \int_{ a }^{ b } t^{x-1} e^{-t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Für
\mathl{b \rightarrow \infty}{} geht
\mathl{b^xe^{-b} \rightarrow 0}{} und für
\mathl{a \rightarrow 0}{} geht
\mathl{a^xe^{-a} \rightarrow 0}{}
\zusatzklammer {da $x$ positiv ist} {} {.}
Wendet man auf beide Seiten diese Grenzwertprozesse an, so erhält man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ = }{ x \operatorname{Fak} \, (x-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (0)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } e^{-t} \, d t
}
{ =} { - e^{-t} | _{ 0 } ^{ \infty }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus (1) und (2) durch Induktion.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, { \left( -\frac{1}{2} \right) }
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } t^{- \frac{1}{2} }e^{-t} \, d t
}
{ =} { 2 \int_{ 0 }^{ \infty } e^{-s^2} \, d s
}
{ =} { \int_{ - \infty }^{ \infty } e^{-s^2} \, d s}
{ =} { \sqrt{\pi}
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt sich mit der Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ s^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem sogenannten
Fehlerintegral.}
{}
\zwischenueberschrift{Gewöhnliche Differentialgleichungen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Taraxacum_sect_Ruderalia13_ies.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Taraxacum sect Ruderalia13 ies.jpg } {Frank Vincentz} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Welche Bewegung vollzieht ein Löwenzahnfallschirmchen? Das Fallschirmchen lässt sich zu jedem Zeitpunkt von dem Wind tragen, der an der Stelle herrscht, wo es sich gerade befindet. Der Wind, seine Stärke und seine Richtung, hängt sowohl von der Zeit als auch vom Ort ab. Das bedeutet, dass hier ein gewisser \anfuehrung{Rückkopplungsprozess}{} vorliegt: Die bisherige Bewegung \zusatzklammer {also die Vergangenheit} {} {} bestimmt, wo sich das Fallschirmchen befindet und damit auch, welcher Wind auf es einwirkt und damit den weiteren Bewegungsablauf. Solche Bewegungsprozesse werden durch Differentialgleichungen beschrieben.
Differentialgleichungen sind ein fundamentaler Bestandteil der Mathematik und der Naturwissenschaften. Sie drücken eine Beziehung zwischen einer abhängigen Größe \zusatzklammer {häufig \mathlk{y(t)}{}} {} {} und der Änderung dieser Größe \zusatzklammer {\mathlk{y'(t)}{}} {} {} aus. Viele Gesetzmäßigkeiten in der Natur wie Bewegungsprozesse, Ablauf von chemischen Reaktionen, Wachstumsverhalten von Populationen werden durch Differentialgleichungen beschrieben. Hier besprechen wir nur solche Differentialgleichungen, die durch Integration gelöst werden können.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei
\maabbeledisp {f} {U} {\R
} {(t,y)} {f(t,y)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {f(t,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\zusatzklammer {gewöhnliche} {} {}
\definitionswort {Differentialgleichung}{} zu $f$
\zusatzklammer {oder zum \stichwort {Vektorfeld} {} oder zum \stichwort {Richtungsfeld} {} $f$} {} {.}
}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{ f(t,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erstmal nur ein formaler Ausdruck, dem wir aber sofort eine inhaltliche Interpretation geben. Das $y$ soll eine Funktion in einer Variablen repräsentieren und $y'$ ihre Ableitung. Dies wird präzisiert durch den Begriff der \stichwort {Lösung einer Differentialgleichung} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei
\maabbeledisp {f} {U} {\R
} {(t,y)} {f(t,y)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {f(t,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {y} {I} {\R
} {t} {y(t)
} {,}
auf einem
\zusatzklammer {mehrpunktigen} {} {}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionswort {Lösung der Differentialgleichung}{,} wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t,y(t))
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Funktion $y$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ = }{f(t,y(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
} Statt Lösung sagt man auch \stichwort {Lösungsfunktion} {} oder \stichwort {Lösungskurve} {.} Es sei betont, dass anders als bei vielen Gleichungen wie quadratische Gleichungen oder lineare Gleichungssysteme, wo die Lösung eine Zahl oder ein Vektor ist, die Lösungen von Differentialgleichungen Funktionen sind.
Differentialgleichungen beschreiben häufig physikalische Prozesse, insbesondere Bewegungsprozesse. Daran soll auch die Notation erinnern, es steht $t$ für die Zeit und $y$ für den Ort. Dabei ist hier der Ort eindimensional, d.h. die Bewegung findet nur auf einer Geraden statt. Den Wert
\mathl{f(t,y)}{} sollte man sich als eine zu einem Zeit- und Ortspunkt vorgegebene Richtung auf der Ortsgeraden vorstellen. Eine Lösung ist dann eine Funktion
\maabbeledisp {y} {I} { \R
} {t} { y(t)
} {,}
die differenzierbar ist und deren Ableitung, vorgestellt als Momentangeschwindigkeit, zu jedem Zeitpunkt $t$ mit dem durch
\mathl{f(t,y(t))}{} gegebenen Richtungsvektor übereinstimmt. Später werden wir auch Bewegungen betrachten, die sich in der Ebene oder im Raum abspielen, und die durch ein entsprechendes Richtungsfeld gesteuert werden.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in der $t$ gar nicht explizit vorkommt
\zusatzklammer {solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig} {} {.}
Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion
\mathl{y(t)}{,} die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ = }{ e^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion
\mathl{a e^t}{} mit einem festen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösungsfunktion.
Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer festen Zahl $c$. In diesem Fall sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ = }{ a e^{ct}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Lösungen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von \stichwort {exponentiellem Wachstum} {} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von \stichwort {exponentiellem Verfall} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{ yt
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gesucht ist also nach einer Funktion
\mathl{y(t)}{,} die differenzierbar ist und deren Ableitung die Gestalt
\mathl{y(t) t}{} besitzt. Hier ist nicht unmittelbar klar, wie eine Lösung aussieht und wie man sie findet. Durch Probieren findet man die Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ = }{e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Die Lösung einer Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht eindeutig, man muss noch Anfangsbedingungen festlegen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei
\maabbeledisp {f} {U} {\R
} {(t,y)} {f(t,y)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,y_0)
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dann nennt man
\mathdisp {y'=f(t,y) \text{ und } y(t_0)=y_0} { }
das \definitionswort {Anfangswertproblem}{}
zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{f(t,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der \definitionswort {Anfangsbedingung}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{y_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei
\maabbeledisp {f} {U} {\R
} {(t,y)} {f(t,y)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,y_0)
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Dann nennt man eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {y} {I} {\R
} {t} {y(t)
} {,}
auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionswort {Lösung des Anfangswertproblems}{}
\mathdisp {y'=f(t,y) \text{ und } y(t_0)=y_0} { , }
wenn $y$ eine
\definitionsverweis {Lösung der Differentialgleichung}{}{}
ist und wenn zusätzlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ =} { y_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Es gibt kein allgemeines Verfahren eine Differentialgleichung bzw. ein Anfangswertproblem explizit zu lösen. Die Lösbarkeit hängt wesentlich von der gegebenen Funktion
\mathl{f(t,y)}{} ab.
Das eine Differentialgleichung beschreibende Vektorfeld
\mathl{f(t,y)}{} hängt im Allgemeinen von beiden Variablen
\mathkor {} {t} {und} {y} {}
ab. Einfache, aber keineswegs triviale Spezialfälle von Differentialgleichungen liegen vor, wenn das Vektorfeld nur von einer der beiden Variablen abhängt.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { f(t,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {ortsunabhängig}{,} wenn die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt, wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t,y)
}
{ = }{ g(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer Funktion $g$ in der einen Variablen $t$ gilt.
}
Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einer stetigen Funktion $g$ ist nichts anderes als das Problem, eine Stammfunktion
\mathl{G(t)}{}
von $g$ zu finden; eine Lösung $y$ der Differentialgleichung ist ja genau durch die Bedingung ausgezeichnet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ = }{ g(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da eine Stammfunktion nur bis auf die Integrationskonstante bestimmt ist, besitzt ein ortsunabhängiges Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {ortsunabhängige}{}{}
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ 1 }{ t^2-1 } } \text{ mit der Anfangsbedingung } y(5)= 3} { . }
Die Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ t^2-1 } }}{} besitzt die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ t^2-1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ t-1 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ t + 1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher sind die Stammfunktionen
\zusatzklammer {wir beschränken uns auf
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln (t-1) - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln ( t +1) +c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(5)
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln 4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln 6 +c
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { 3 - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln 4 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ y(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln (t-1) - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln (t+1) + 3 - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln 4 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \ln 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {f(t,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {zeitunabhängig}{,} wenn die Funktion $f$ nicht von $t$ abhängt, wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(t,y)
}
{ = }{ h(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer Funktion $h$ in der einen Variablen $y$ gilt.
}
Bei einer zeitunabhängigen Differentialgleichung hängt nur das zugrunde liegende Vektorfeld nicht von der Zeit ab, die Lösungskurven sind hingegen im Allgemeinen zeitabhängig.
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