Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex

\setcounter{section}{46}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } {(x,y)} {x^2y^3 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b \in \N}{.} Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} für die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } {(x,y)} {x^ay^b } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^2 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y)} {\left( xy-2y^3+5 , \, x^3-xy^2+y \right) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,2)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(4,-3)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^3 } { {\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} {( xy-zy+2z^2, \sin (x^2yz)) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,-1,\pi)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(2,0,5)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v) }
{ = }{w }
{ \in }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} {G} {W } {} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{{\mathbb R} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P} }
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} \aufzaehlungzwei {Es seien \maabb {L_1} {V} {W_1 } {} und \maabb {L_2} { V} {W_2 } {} ${\mathbb R}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2 } {v} {(L_1(v),L_2(v)) } {,} ${\mathbb R}$-linear ist. } {Es seien \maabb {f_1} { V} {W_1 } {} und \maabb {f_2} {V } { W_2 } {} im Punkt
\mathl{P \in V}{} \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2 } {Q} {(f_1(Q),f_2(Q)) } {,} im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P} }
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge eines \definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$, \maabbdisp {g} {T} {L } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} in einen weiteren metrischen Raum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für den \definitionsverweis {Limes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) }
{ =} { b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, d { \left( g(x), b \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb R}^2 } { {\mathbb R}^3 } {(x,y)} {( x+y^2,xy, \exp x) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(3,2)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(-1,-7)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {\det} {\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb R}) } { {\mathbb R} } {M} { \det M } {,} für
\mathl{n=2,3}{} an der \definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = \begin{cases} { \frac{ xy }{ \sqrt{x^2+y^2} } } \text{ bei } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ bei } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} } {} auf \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} und \definitionsverweis {totale Differenzierbarkeit}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} ist, also von der Art
\mathl{P \mapsto P+v}{} mit einem festen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xf(y) } {,} genau dann im Punkt
\mathl{(0,0)}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist, wenn $f$ in $0$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} in einer Variablen. Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n} { {\mathbb R}^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Zusatzaufgabe zur Fußball-EM}

Die folgende Aufgabe kann bis zum Ende der EM abgegeben werden. Die zu erreichende Punktezahl ist gleich der Anzahl der Tore, die Deutschland bei dem Turnier \zusatzklammer {in den regulären Spielzeiten} {} {} schießt.


\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgende Aussage:

\faktsituation {Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt.}
\faktuebergang {In dieser Situation gilt:}
\faktfolgerung {Es gibt mindestens zwei \zusatzklammer {gegenüber liegende} {} {} Punkte auf dem Fußball \zusatzklammer {seiner Oberfläche} {} {,} die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{} {}