Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 46
- Totale Differenzierbarkeit
Wir möchten Abbildungen zwischen Vektorräumen differenzieren (ohne auf eine Richtung Bezug zu nehmen), und allgemeiner Abbildungen
wobei eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung , dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine „Tangente an den Graphen“ anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste lineare Approximation von (genauer: Der Graph einer affin-linearen Approximation) in einem gegebenen Punkt darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.
Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion schmiegt sich die Tangente im Punkt an den Graphen zu an. Zu einer Funktion
ist der Graph eine Teilmenge von , den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu gibt.
Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Vektorräume endlichdimensional und mit einer euklidischen Norm versehen sind. Wie schon gezeigt wurde, hängt die Topologie, also die Konzepte offene Menge, Stetigkeit, Konvergenz, nicht von der gewählten euklidischen Struktur ab.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft
gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.
Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit
bezeichnet.
Äquivalent zur totalen Differenzierbarkeit ist die Eigenschaft, dass der Ausdruck
für gegen konvergiert. Ebenfalls äquivalent ist die Eigenschaft, dass der Limes (von Funktionen)
existiert und gleich ist (siehe Aufgabe 46.10).
Das Konzept der totalen Differenzierbarkeit ist eher theoretisch und weniger konkreten Berechnungen zugänglich. Wir werden später dieses Konzept mit dem Konzept der partiellen Ableitungen in Verbindung bringen, welches eher für Berechnungen geeignet ist, jedoch von Koordinaten, d.h. von der Auswahl einer Basis, abhängt (siehe auch Beispiel 47.6 in der nächsten Vorlesung).
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und sei die Abbildung auf einer offenen Teilmenge definiert. Sei ein Punkt.
Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition 46.1.
Ist im Punkt differenzierbar, so ist das totale Differential eindeutig bestimmt.
Angenommen, es gelte
und
mit linearen Abbildungen und und mit im Punkt stetigen Funktionen mit . Wir müssen zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung
Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist. Wir nehmen daher an, dass
gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor mit . Dann gilt für
Dies impliziert, dass für gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich . Also gilt , ein Widerspruch.
Ist konstant mit für alle , so ist differenzierbar mit totalem Differential (siehe Aufgabe 46.6).
Es sei eine - lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen - Vektorräumen und .
Dann ist in jedem Punkt differenzierbar und stimmt in jedem Punkt mit ihrem totalen Differential überein.
Aufgrund der Linearität gilt
Also können wir wählen.
Diese Aussage gilt auch für affin-lineare Abbildungen, also Abbildungen der Form
mit einer linearen Abbildung und einem festen Vektor . In diesem Fall ist das totale Differential gleich .
Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine Abbildung.
Dann ist genau dann in als Kurve differenzierbar, wenn in total differenzierbar ist.
In diesem Fall besteht die Beziehung
Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt bedeutet nach Definition 34.3 die Existenz des Limes
Diese Existenz ist (entsprechend Satz 19.5) dazu äquivalent, dass man
mit einem Vektor und einer in stetigen Abbildung mir schreiben kann (wobei sein muss). Dabei kann man hinten durch ersetzen (wobei man auch abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit, und zwar ist die lineare Abbildung durch
gegeben. Somit ist
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und es sei eine offene Teilmenge. Es seien im Punkt differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen und .
Dann ist auch in differenzierbar und es gilt
Ebenso gilt für alle .
Sei und . Dann gilt
Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch in stetig mit ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei eine in differenzierbare Abbildung.
Dann ist auch stetig im Punkt .
Nach Definition gilt Die rechte Seite ist stetig (nach Definition 46.1 und Satz 33.10) in . Damit ist stetig in .
- Totale Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen
Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen, partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen. Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, es sei eine offene Teilmenge und eine im Punkt differenzierbare Abbildung.
Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
Da eine lineare Abbildung von nach ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor einen Vektor in . Nach Voraussetzung haben wir
(mit den üblichen Bedingungen an ). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines)
Also gilt
da und der Ausdruck beschränkt ist.
Es sei offen und eine in total differenzierbare Abbildung. Dann existieren nach Proposition 46.8 und nach Lemma 45.3 die partiellen Ableitungen
im Punkt . Daher existiert die Jacobi-Matrix
Diese Matrix beschreibt das totale Differential bezüglich der Standardbasen im und . Es ist ja nach Proposition 46.8 und Lemma 45.3
und dies ist die -te Spalte der Jacobimatrix. Durch diese Eigenschaft ist aber die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis festgelegt.
Es sei offen und eine Abbildung. Es seien , , die Koordinaten von und ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von in einer offenen Umgebung von existieren und in stetig sind.
Dann ist in (total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der Standardbasis des durch die Koordinatenfunktionen gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in durch die Jacobi-Matrix
beschrieben.
Indem wir durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von ersetzen, können wir annehmen, dass auf die Richtungsableitungen
existieren und in stetig sind. Daher ist nach Proposition 46.8 die lineare Abbildung
der einzige Kandidat für das totale Differential. Daher müssen wir zeigen, dass diese lineare Abbildung die definierende Eigenschaft des totalen Differentials besitzt. Setze (abhängig von ). Dann gelten mit dem Ansatz
(für hinreichend klein) die Abschätzungen
Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes ist die Abbildung (die auf dem Einheitsintervall definiert ist)
differenzierbar (aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf ) mit der Ableitung
Nach der Mittelwertabschätzung existiert eine reelle Zahl
sodass (dies ist die Norm von )
gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck nach oben beschränkt ist durch
Da die partiellen Ableitungen stetig in sind, wird die Summe rechts mit beliebig klein, da dann gegen konvergiert. Also ist der Grenzwert für gleich .
Dies folgt aus Satz 46.10 und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen sind, die nach Satz 33.12 stetig sind.
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