Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve ${}f\colon J\rightarrow V$ und eine differenzierbare Umparametrisierung ${}h\colon I\rightarrow J$) ab.

Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe

Es seien ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen, und ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ und ${}g\colon D\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ Abbildungen derart, dass ${}f(G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}f$ in ${}P\in G$ und ${}g$ in ${}f(P)\in D$ total differenzierbar ist. Zeige

${}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{m}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 46.3.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und

$f,g\colon G\longrightarrow W$

seien Abbildungen auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$, die in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \left\langle f(P),g(P)\right\rangle ,$

in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, und dass

${}(D_{v}h)(P)=\left\langle f(P),(D_{v}g)(P)\right\rangle +\left\langle (D_{v}f)(P),g(P)\right\rangle \,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

$\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{3}{\stackrel {g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}$

mit

$f(u,v)=(u^{2},uv,u-v^{2}),$

$g(x,y,z)=(x+y^{2}-z,x^{2}yz),$

und

$h(r,s)=(r^{2}s,s^{2}).$

Berechne das totale Differential von ${}h\circ g\circ f$ in einem beliebigen Punkt ${}P=(u,v)$ auf vier verschiedene Arten.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \Vert {f(P)}\Vert ,$

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 46.3 auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

${}\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,$

gilt.