Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y\cdot \sin x,$

im Nullpunkt ${}(0,0)$.

Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in ${}2$ oder ${}3$ Variablen für die Grade ${}k=1,2,3$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt ${}fg$ im Punkt ${}P$ vom Grad ${}\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von ${}f$ und ${}g$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq 1$ sein muss.

Aufgabe

a) Schreibe das Polynom

$f=3x^{3}-4x^{2}y+2xy-x+5y$

als Polynom in den Variablen ${}u=x-2$ und ${}v=y+1$.

b) Bestimme mit Teil a) die Taylor-Polynome von ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}(2,-1)$.

c) Berechne diese Taylor-Polynome über Ableitungen.

Aufgabe

Bestätige Satz 48.1 für ${}f(x,y)=x^{a}y^{b}$ in ${}(0,0)$ und ${}v=(2,3)$ bis zur dritten Ableitung.

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ ein ${}n$- Tupel natürlicher Zahlen. Es sei ${}k:=\sum _{j=1}^{n}r_{j}$. Dann nennt man die Zahl

${}{\binom {k}{r}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,$

einen Polynomialkoeffizienten.

Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ einer ${}n$-elementigen Menge gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

In einem Studium werden ${}11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar ${}3$ Seminarscheine, ${}5$ Klausuren, ${}2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

Aufgabe

Es seien ${}k,n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Zeige, dass die Anzahl der ${}n$-Tupel

$(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,k\}^{n},$

in denen die Zahl ${}j$ genau ${}r_{j}$-mal vorkommt, gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}n,k\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit ${}n$. Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\},$

bei denen das Urbild zu ${}j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ aus genau ${}r_{j}$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

$(a_{1}+\cdots +a_{n})^{k}=\sum _{r=(r_{1},\ldots ,r_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}r_{i}=k}{\binom {k}{r}}a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdots a_{n}^{r_{n}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto z\cdot \exp(xy),$

im Nullpunkt ${}(0,0,0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 4$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \cos(x)\cdot \sin(y),$

im Punkt ${}(\pi ,\pi /2)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}f$ ein Polynom in ${}n$ Variablen vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass ${}f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ von ${}f$ im Nullpunkt übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Sei ${}k\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es maximal ein Polynom ${}p(x_{1},\ldots ,x_{n})$ vom Grad ${}\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {f(x)-p(x)}\Vert }{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,$

gilt.