Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/21/Addition von zwei Gleichungen/Studentenfrage/Antwort

Vielleicht verwirrt dich, dass in den Beispielen meistens beide Schritte auf Einmal durchgeführt werden, indem zu einer Gleichung das Vielfache einer anderen Gleichung hinzuaddiert wird.

Lass uns das an dem Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}$

aus Aufgabe 21.3 Schritt für Schritt durchführen.

In einem ersten Schritt wollen wir (2) anwenden um den Koeffizienten vor der Variable ${}x$ so vorzubereiten, dass sie sich beim späteren Addieren wegheben. Also multiplizieren wir die zweite Gleichung (also ${}II$) mit ${}{\frac {4}{5}}$. Das ergibt das äquivalente Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\4x+{\frac {32}{5}}y&=&0\,.\end{matrix}}$

Der nächste Schritt ist, (6) anzuwenden und die zweite Gleichung durch die Summe der ersten und der zweiten Gleichung zu ersetzen. Das ergibt das äquivalente Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\{\frac {62}{5}}y&=&0\,.\end{matrix}}$

In den Beispielen wird diese Kombination der beiden Äquivalenzumformungen dann als ${}II$ durch ${}I+{\frac {4}{5}}II$ ersetzen beschrieben.

Nach diesen zwei Schritten sind wir bei dieser einfachen Aufgabe schon in Zeilenstufenform wie in Satz 21.9. Wir können jetzt die Lösung ablesen indem wir von unten nach oben die Gleichungen auswerten, bzw. von rechts nach links die Variablen. Aus der zweiten Gleichung lesen wir ab, dass die einzige Möglichkeit für eine Lösung ${}y=0$ bedeutet. Dies setzen wir in die erste Gleichung für ${}y$ ein und erhalten ${}-4x=0$, also muss auch ${}x=0$ sein. Damit haben wir gezeigt, dass ${}(0,0)$ die einzige Lösung des Gleichungssystems ist.

Zur beantworteten Studentenfrage