Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/21

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Ist der Punkt im Beispiel 21.2 ${}\left({\frac {209}{238}},\,{\frac {11}{14}},\,{\frac {11}{17}}\right)$ also ${}(Q-P)$, die Gradiente von der 3-D Geraden?

Antwort

Gradiente ist nicht das richtige Wort und es ist auch kein Punkt im eigentlichen Sinne. Die Differenz der beiden Punkte ${}Q$ und ${}P$, also ${}Q-P$ ist ein Richtungsvektor der Schnittgeraden. Man kann sich das als einen Pfeil vorstellen, der entlang der Geraden zeigt. Es ist sinnvoll, sich

${}G={\left\{\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)+t\left({\frac {209}{238}},\,{\frac {11}{14}},\,{\frac {11}{17}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als die Menge vorzustellen, die vom Aufpunkt ${}P$ aus durch den Richtungsvektor aufgespannt wird. In diesem Sinne ist jeder Punkt der Geraden eine Summe von ${}P$ und einem skalaren Vielfachen des Richtungsvektors. Man könnte auch jeden anderen Punkt der Geraden als Aufpunkt nehmen und trotzdem den selben Richtungsvektor verwenden. Deshalb hat der Richtungsvektor auch keine Position im Raum, sondern eben nur eine Richtung. Umgekehrt hat ein Punkt keine Richtung aber eine Position.

Deshalb ist es wichtig zwischen den Begriffen Punkt und Vektor zu unterscheiden. Zwar können wir durch Wahl eines Nullpunktes den Anschauungsraum als Vektorraum auffassen und dann sind die Punkte auch Vektoren in diesem Vektorraum. Umgekehrt trägt mit dieser Wahl des Nullpunktes auch jeder Richtungsvektor die gleichen Daten wie ein Punkt, bzw. zeigt auf einen eindeutig bestimmten Punkt. Aber diese Zuordnung lässt sich nicht in jedem Kontext aufrechterhalten und ergibt auch hier mit dem Richtungsvektor schon nur begrenzt Sinn.

Studentenfrage

In Lemma 21.7 wird erläutert, dass die Fakten (2) die Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar ${}s$ ungleich ${}0$ und (6) das Ersetzen einer Gleichung ${}H$ durch diejenige Gleichung, die entsteht, wenn man zu ${}H$ eine andere Gleichung ${}G$ des Systems addiert - die wichtigsten Manipulationen für die praktische Lösung eines linearen Gleichungssystems sind. Dabei habe ich trotz der vorgegebenen Beispiele immer noch nicht ganz verstanden, wie man den Fakt (6) anwendet bzw. benutzt.

Antwort

Vielleicht verwirrt dich, dass in den Beispielen meistens beide Schritte auf Einmal durchgeführt werden, indem zu einer Gleichung das Vielfache einer anderen Gleichung hinzuaddiert wird.

Lass uns das an dem Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}$

aus Aufgabe 21.3 Schritt für Schritt durchführen.

In einem ersten Schritt wollen wir (2) anwenden um den Koeffizienten vor der Variable ${}x$ so vorzubereiten, dass sie sich beim späteren Addieren wegheben. Also multiplizieren wir die zweite Gleichung (also ${}II$) mit ${}{\frac {4}{5}}$. Das ergibt das äquivalente Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\4x+{\frac {32}{5}}y&=&0\,.\end{matrix}}$

Der nächste Schritt ist, (6) anzuwenden und die zweite Gleichung durch die Summe der ersten und der zweiten Gleichung zu ersetzen. Das ergibt das äquivalente Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\{\frac {62}{5}}y&=&0\,.\end{matrix}}$

In den Beispielen wird diese Kombination der beiden Äquivalenzumformungen dann als ${}II$ durch ${}I+{\frac {4}{5}}II$ ersetzen beschrieben.

Nach diesen zwei Schritten sind wir bei dieser einfachen Aufgabe schon in Zeilenstufenform wie in Satz 21.9. Wir können jetzt die Lösung ablesen indem wir von unten nach oben die Gleichungen auswerten, bzw. von rechts nach links die Variablen. Aus der zweiten Gleichung lesen wir ab, dass die einzige Möglichkeit für eine Lösung ${}y=0$ bedeutet. Dies setzen wir in die erste Gleichung für ${}y$ ein und erhalten ${}-4x=0$, also muss auch ${}x=0$ sein. Damit haben wir gezeigt, dass ${}(0,0)$ die einzige Lösung des Gleichungssystems ist.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 21

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