Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

$M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}$

die Mengen

1. ${}M\cap N$,
2. ${}M\cap N\cap P\cap R$,
3. ${}M\cup R$,
4. ${}{\left(N\cup P\right)}\cap R$,
5. ${}N\setminus R$,
6. ${}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$,
7. ${}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$,
8. ${}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, ${}GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und ${}RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

1. ${}GA\setminus RA$.
2. ${}{\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$.
3. ${}RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$.
4. ${}RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$.
5. ${}{\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$.

Aufgabe *

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

1. ${}A\cup \emptyset =A\,,$

2. ${}A\cap \emptyset =\emptyset \,,$

3. ${}A\cap B=B\cap A\,,$

4. ${}A\cup B=B\cup A\,,$

5. ${}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,$

6. ${}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,$

7. ${}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,$

8. ${}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,$

9. ${}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.$

Kommentar:

Hier ist die Gleichheit von Mengen zu zeigen. Nach dem Extensionalitätsprinzip stimmen zwei Mengen überein, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Um die Gleichheit zu zeigen müssen wir also zeigen, dass jedes Element der einen Menge in der anderen enthalten ist und umgekehrt.

Wenn wir eine Aussage für jedes Element einer Menge zeigen wollen, nehmen wir uns ein Platzhalterelement als Vertreter her und zeigen die Aussage dafür. Wichtig ist dafür, dass wir das Element beliebig halten und nicht etwa auf ein bestimmtes Element einschränken. Nur so können wir aus dem Beweis für den Platzhalter die Aussage allgemein folgern.

Wir führen das exemplarisch für die erste Gleichheit vor.

Zunächst sei ${}x\in A\cup \emptyset$. Wir nennen den Platzhalter also ${}x$. Die mathematische Aussage ${}x\in A\cup \emptyset$ bedeutet, dass ${}x\in A$ ist oder ${}x\in \emptyset$. Wir führen eine Fallunterscheidung. Der Fall ${}x\in \emptyset$ aber kann nicht auftreten, da die leere Menge ${}\emptyset$ genau dadurch definiert wurde, dass sie keine Elemente enthält. In jedem möglichen Fall also folgt aus ${}x\in A\cup \emptyset$, dass ${}x\in A$ ist. Also haben wir die Richtung ${}A\cup \emptyset \subseteq A$ gezeigt.

Betrachten wir als Nächstes die andere Richtung und nehmen dafür ein Element ${}x\in A$. Da ${}x\in A$ angenommen wird folgt insbesondere, dass ${}x\in A$ oder ${}x\in \emptyset$ ist, auch wenn davon immer der erste Fall erfüllt ist. Also gilt ${}x\in A\cup \emptyset$ und damit haben wir ${}A\subseteq A\cup \emptyset$ gezeigt.

Aus diesen beiden Teilbeweisen zusammen ergibt sich, dass ${}A\cup \emptyset =A$ gilt.

 

Aufgabe

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen ${}A,B,C$ Mengen.

1. Modus Barbara: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\subseteq A$.
2. Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$.
3. Modus Darii: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\cap A\neq \emptyset$.
4. Modus Ferio: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\not \subseteq A$.
5. Modus Baroco: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}B\not \subseteq C$ folgt ${}A\not \subseteq C$.

Aufgabe

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus ${}A\cup C=B\cup C$ auf ${}A=B$ schließen?

Kommentar:

Dies ist eine offen formulierte Fragestellung. Die Aussage "Die Abziehregel gilt." ist also entweder zu beweisen oder zu widerlegen.

Da es eine Aussage über alle Mengen ist, muss man, um die Aussage zu beweisen, für beliebige Mengen ${}A,B$ und ${}C$ die Behauptung ${}A\cup C=B\cup C$ impliziert ${}A=B$ zeigen. Um die Aussage zu widerlegen genügt allerdings ein einziges Gegenbeispiel, also drei Mengen anzugeben, die diese Behauptung nicht erfüllen.

Es scheint also so, als ob es viel einfacher ist eine solche Allgemeinaussage zu widerlegen und in gewisser Hinsicht ist das auch oft so. Allerdings wird uns ein Gegenbeispiel meist nicht einfach geschenkt und oft genug führen die gleichen Überlegungen die zu einem Beweis der Aussage führen würden erst zu einem Gegenbeispiel, weil uns daran klar wird wo der Beweis schief laufen würde. Umgekehrt kann ein mehr oder weniger freies Herumprobieren mit Beispielen, mit dem Ziel ein Gegenbeispiel zu finden, auch die Struktur des Phänomens klarer machen und stattdessen die entscheidende Idee für einen Beweis der Aussage liefern.

Es ist also sinnvoll Aussagen immer wieder von verschiedenen Seiten und Gesichtspunkten anzugehen bis sie sich uns erschließen.

 

Aufgabe

Skizziere die Produktmenge ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ als Teilmenge von ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

1. Ein Geradenstück ${}I$.
2. Eine Kreislinie ${}K$.
3. Eine Kreisscheibe ${}D$.
4. Eine Parabel ${}P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x=7{\text{ oder }}y=3\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid 7x\geq 3y{\text{ und }}4x\leq y\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=0\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$.

Aufgabe

1. Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x-7y=3\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+2y=5\right\}}$.
2. Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen.

Aufgabe *

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A_{1},A_{2}\subseteq M$ und ${}B_{1},B_{2}\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A_{1}\times B_{1}\right)}\cap {\left(A_{2}\times B_{2}\right)}={\left(A_{1}\cap A_{2}\right)}\times {\left(B_{1}\cap B_{2}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}P$ eine Menge von Personen und ${}V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und ${}N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von ${}P$ nach ${}V$, nach ${}N$ und nach ${}V\times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Diagramme, welche empirischen Abbildungen in ihnen dargestellt werden (sollen). Was sind jeweils die Definitionsmengen, die Wertemengen, mit welchen Einheiten wird gearbeitet? Wird (pro Bild) nur eine Abbildung dargestellt oder mehrere? Handelt es sich überhaupt um Abbildungen? Welche Informationen werden über die Abbildung hinaus gegeben? Werden die empirischen Abbildungen mathematisiert?

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe

Man beschreibe eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe

Untersuche für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe

Wie sehen die Graphen der Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?

Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

ob ${}f$ injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von ${}\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Zeige, dass die Abbildung

$\tau \colon L\times M\longrightarrow M\times L,\,(x,y)\longmapsto (y,x),$

eine bijektive Abbildung zwischen den Produktmengen ${}L\times M$ und ${}M\times L$ festlegt.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Es sei

$G\colon M\longrightarrow L$

eine Abbildung, die

${}F\circ G=\operatorname {Id} _{M}\,$ und ${}G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$ erfüllt. Zeige, dass dann ${}G$ die Umkehrabbildung von ${}F$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Mengen

$L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\,M=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}{\text{ und }}N=\{R,S,T,U,V,W,X,Y,Z\}$

und die Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ und ${}\psi \colon M\rightarrow N$, die durch die Wertetabellen

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}i$	${}a$	${}g$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$

und

${}y$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$	${}e$	${}f$	${}g$	${}h$	${}i$
${}\psi (y)$	${}X$	${}Z$	${}Y$	${}S$	${}Z$	${}S$	${}T$	${}W$	${}U$

gegeben sind.

1. Erstelle eine Wertetabelle für ${}\psi \circ \varphi$.
2. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ injektiv?
3. Sind die Abbildungen ${}\varphi$, ${}\psi$, ${}\psi \circ \varphi$ surjektiv?

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{4}+3x^{2}-2x+5\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{3}-x^{2}+6x-1$

definiert sind.

Kommentar:

Wie man aus der Definition der Hintereinanderschaltung ablesen kann, bedeutet das Ausführen einer Hintereinanderschaltung das Einsetzen der einen Abbildung für die Variable der anderen Abbildung.

Um also ${}(\varphi \circ \psi )(x)$ zu bestimmen ersetzen wir in der Abbildungsvorschrift von ${}\varphi$ jedes Vorkommen der Variable (hier ${}x$) durch ${}\psi (x)$ und lösen dann auf. Wichtig ist dabei richtig zu klammern (zur Sicherheit um ${}\psi (x)$ am Besten eine Klammer setzen).

 

Aufgabe

1. Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein?
2. Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung (also die konstante Abbildung zuerst) konstant?
3. Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung (also die konstante Abbildung zuletzt) konstant?

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

und

$H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$

Abbildungen. Zeige, dass dann

${}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$. Zeige durch Induktion die Gleichheit

${}(2m+1)\prod _{i=1}^{m}(2i-1)^{2}=\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer ${}n$-Schokolade aus genau ${}n-1$ Teilungsschritten besteht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A$ und ${}B$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B$,
2. ${}A\cap B=A$,
3. ${}A\cup B=B$,
4. ${}A\setminus B=\emptyset$,
5. Es gibt eine Menge ${}C$ mit ${}B=A\cup C$,
6. Es gibt eine Menge ${}D$ mit ${}A=B\cap D$.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid 2x=5{\text{ und }}y\geq 3\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten einen Computer, der nur zwei Speicher besitzt, in denen jeweils eine natürliche Zahl stehen kann. Zu Beginn eines jedes Programms (also einer Aneinanderreihung von Befehlen) lautet die Belegung ${}(0,0)$. Der Computer kann einen Speicher leeren, einen Speicher um ${}1$ erhöhen, zu Befehlen springen (unbedingter Sprungbefehl) und die beiden Inhalte der Speicher der Größe nach miteinander vergleichen. Ferner kann es zu einem Befehl wechseln, wenn die Vergleichsbedingung erfüllt ist (bedingter Sprungbefehl). Schließlich gibt es einen Druckbefehl, bei dem das momentane Belegungspaar ausgedruckt wird. Schreibe ein Computerprogramm, das jedes Paar ${}(n,m)\in \mathbb {N} ^{2}$ genau einmal ausdruckt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{3}+2x+1\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}-5$

definiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge ${}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$

die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}2$	${}5$	${}6$	${}1$	${}4$	${}3$	${}7$	${}7$

gegeben ist. Berechne ${}\varphi ^{1003}$, also die ${}1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von ${}\varphi$ mit sich selbst.

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