Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 59/latex
\setcounter{section}{59}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } xy \, d \lambda^2} { }
über dem Quader
\mathl{Q=[a,b] \times [c,d]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ der
\definitionsverweis {Subgraph}{}{} unterhalb der
\definitionsverweis {Standardparabel}{}{} zwischen
\mathkor {} {1} {und} {3} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ G } x^2+xy-y^3 \, d \lambda^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} durch eine reelle Zahl aus
\mathl{[c,d]}{}
\zusatzklammer {
\mathl{c>0}{}} {} {}
dividiert?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Integral zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(r,s,t)
}
{ =} { s^2 t+r \cos t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Einheitswürfel
\mathl{W=[0,1]^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Integral zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(r,s,t)
}
{ =} { rst+ t \sin s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem Einheitswürfel
\mathl{W=[0,1]^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Verallgemeinere
Korollar 59.6
auf den Fall eines Quaders
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ [a_1,b_1] \times [a_2 \times b_2] \times \cdots \times [a_n ,b_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { [a_1,b_1] \times [a_2 \times b_2] \times \cdots \times [a_n ,b_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Quader im $\R^n$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { x_1^{d_1} x_2^{d_2} \cdots x_n^{d_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Monom. Berechne
\mathl{\int_Q f d \lambda^n}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Integral
\mathl{\int_T f d \lambda^3}{,} wobei
\mathl{f(x,y,z)=xz}{} und $T$ der Einheitszylinder
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2 \leq 1 , \, -1 \leq x,y \leq 1 , \, 0 \leq z \leq 1 \right\} }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
eines Intervalls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[a,b]
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {arithmetischen Mittel}{}{}
der Intervallgrenzen übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
des Dreiecks mit den Ecken
\mathl{(0,0), \, (0,1),\, (1,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne mittels Integration den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
eines Dreiecks, das durch die drei Punkte
$(0,0),\, (a,0)$ und $(b,c)$
\zusatzklammer {mit
\mathl{a, c >0}{}} {} {}
gegeben sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
eines Dreieckes mit den Eckpunkten
\mathl{A,B,C}{} gleich
\mathl{{ \frac{ A+B+C }{ 3 } }}{} ist.
}
{} {}
Für einen einfacheren Ansatz zur Lösung der vorstehenden Aufgabe siehe Aufgabe 60.13.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S,T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{}
mit positivem Volumen derart, dass ihr Durchschnitt $S \cap T$ das Volumen $0$ besitze. Es sei $P$ der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
von $S$ und $Q$ der Schwerpunkt von $T$. Zeige, dass der Schwerpunkt der Vereinigung
\mathl{S \cup T}{} durch
\mathdisp {{ \frac{ \lambda^n(S) }{ \lambda^n(S) + \lambda^n(T) } } P + { \frac{ \lambda^n(T) }{ \lambda^n(S) + \lambda^n(T) } } Q} { }
gegeben ist.
}
{} {}
Zu einer endlichen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\{P_1 , \ldots , P_k\}
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert man den Schwerpunkt durch
\mathl{{ \frac{ \sum_{j = 1}^k P_j }{ k } }}{.} Dies ist kein Spezialfall von
Definition 59.11,
da dort vorausgesetzt wird, dass das Volumen der Teilmenge nicht $0$ ist.
Aufgabe 59.12
zeigt, dass für ein Dreieck der Schwerpunkt der drei Eckpunkte mit dem Schwerpunkt des flächigen Dreiecks übereinstimmt. Eine weitere Beziehung zwischen den beiden Konzepten wird durch die folgende Aufgabe gestiftet.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{P_1 , \ldots , P_k \}
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich viele Punkte. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {abgeschlossenen Bälle}{}{}
\mathl{B \left( P_j,\epsilon \right)}{} paarweise zueinander
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
seien. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \bigcup_{j = 1}^k B \left( P_j,\epsilon \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
von $T$ gleich
\mathl{{ \frac{ \sum_{j = 1}^k P_j }{ k } }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} des oberen Einheitshalbkreises
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 \leq 1 , \, y \geq 0 \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
derjenigen Fläche, die auf
\mathl{[-1 , 1]}{} durch die Standardparabel und die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade begrenzt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
derjenigen Fläche, die auf
\mathl{[0 , { \frac{ \pi }{ 2 } } ]}{} durch die beiden positiven Koordinatenachsen und den Graphen der Kosinusfunktion begrenzt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme durch Integration die $x$- und die $y-$Koordinate des \definitionsverweis {Schwerpunktes}{}{} der oberen Einheitshalbkugel \zusatzklammer {siehe Beispiel 59.12} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge $1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt $30$ Grad beträgt. \aufzaehlungzwei {Berechne die Grundseite des Dreiecks. } {Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Dr. Eisenbeis und Prof. Knopfloch haben einen runden Kuchen mit einem Durchmesser von $40$ cm gebacken und ihn in $12$ gleich große Kuchenstücke aufgeteilt. Am übernächsten Tag ist leider nur noch ein Stück übrig, das sie gerecht aufteilen möchten. Da Dr. Eisenbeis den Rand nicht mag, halbieren sie nicht den Winkel, sondern sie teilen so, dass die eine Hälfte ein gleichschenkliges Dreieck wird. \aufzaehlungzwei {Wie lang ist die Schnittkante? } {Liegt der Schwerpunkt des Kuchenstücks auf der Schnittkante? Falls nein, wer isst den Schwerpunkt? }
Tipp: Bei einen gleichschenkligen Dreieck mit dem Winkel $30$ Grad ist das Verhältnis von Grundfläche zu Schenkellänge \zusatzklammer {siehe
Aufgabe 59.19} {} {} gleich $\sqrt{2- \sqrt{3} }$. Vergleiche mit dem Schwerpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, das entsteht, wenn man das Kuchenstück zu einem gleichschenkligen Dreieck auffüllen würde, also den runden Rand durch eine im Randmittelpunkt tangentiale gerade Strecke ersetzt. Bei einem Dreieck mit den Ecken $A,B,C$ liegt der Schwerpunkt in
\mathl{{ \frac{ A+B+C }{ 3 } }}{.}
}
{} {}
Zur exakten Berechnung des Schwerpunktes in der vorstehenden Situation siehe Aufgabe 60.3.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_{+}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
des Intervalls
\mathl{[a,b]}{} zur Massenverteilung $f$ mit der $x$-Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zu $f$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf der quadratischen Platte
\mathl{P=[-1,1] \times [-1,1]}{} sei eine elektrische Ladung gemäß
\mathl{f(x,y)=y-x^2}{} verteilt. Bestimme den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $G$ der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.} Berechne die \definitionsverweis {Integrale}{}{}
a)
\mathl{\int_{ G } x \, d \lambda^2}{,}
b)
\mathl{\int_{ G } y \, d \lambda^2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Integral}{}{} zur Funktion
\mathl{f(x,y)=x ( \sin x)( \cos \left( xy \right))}{} über dem Rechteck
\mathl{Q= [0,3 \pi] \times [0,1]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(u,v)} { { \frac{ 2uv }{ (u^2+1)(v^2+v+1) } }
} {.}
Für welche Quadrate
\mathl{Q=[a,a+1] \times [b,b+1]}{} der Kantenlänge $1$ wird das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } f \, d \lambda^2} { }
maximal? Welchen Wert besitzt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne das Integral
\mathl{\int_{B(P,r)} x^2-y^3 d \lambda^2}{} über der Kreisscheibe
\mathl{B(P,r)}{} in Abhängigkeit von
\mathl{P=(a,b) \in\R^2}{} und
\mathl{r \in \R_+}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $\R^n$ mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{.} Es sei
\maabbdisp {f} {T} {\R} {}
eine stetige Massenverteilung auf $T$ mit der Gesamtmasse
\mathl{M >0}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t_i
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ M } } \int_T y_i \cdot f d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die $i$-te Koordinate des
\definitionsverweis {Schwerpunktes}{}{}
von $T$ bezüglich dieser Basis ist.
}
{} {}