Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 41/latex
\setcounter{section}{41}
\zwischenueberschrift{Differentialgleichungen höherer Ordnung}
Viele physikalische Bewegungsprozesse sind nicht dadurch determiniert, dass zu jedem Zeit- und Ortspunkt die Bewegungsrichtung \zusatzklammer {also die gerichtete Geschwindigkeit} {} {} vorgegeben wird, sondern dadurch, dass zu jedem Zeit- und Ortspunkt eine Kraft auf ein Teilchen wirkt, die dieses beschleunigt. In diesem Fall kann die Bewegung also nicht durch die erste Ableitung \zusatzklammer {Geschwindigkeit} {} {} modelliert werden, sondern durch die zweite Ableitung \zusatzklammer {Beschleunigung} {} {.} Typische Beispiele hierzu sind die durch die Gravitation oder eine Federkraft hervorgerufenen Bewegungen.
\inputbeispiel{}
{
Ein Gegenstand der Masse $m$ wird im Vakuum aus einer Höhe $0$ zum Zeitpunkt $0$ losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden
\zusatzklammer {freier Fall im Vakuum} {} {.}
Dabei wirkt auf den Körper die Gravitationskraft
\mathl{gm}{}
\zusatzklammer {die Erdbeschleunigung $g$ nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an} {} {,}
die ihn nach dem Gesetz \anfuehrung{Kraft ist Masse mal Beschleunigung}{} beschleunigt. Die Beschleunigung ist also konstant und unabhängig von der Masse. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit
\mathl{v(t)}{} des Körpers die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'(t)
}
{ =} {-g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt
\zusatzklammer {die Wahl des Vorzeichens bewirkt, dass der Körper ins Negative fällt} {} {.}
Die durch die Anfangsbedingung
\zusatzklammer {der Gegenstand ruhe zum Zeitpunkt $0$} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegte Lösung für die Geschwindigkeit ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(t)
}
{ =} {-gt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der zurückgelegte Weg
\mathl{y(t)}{} des Körpers ergibt sich wiederum aus der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ =} {v(t)
}
{ =} {-gt
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die besagt, dass die Ableitung des Weges nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit beschreibt. Die Lösung davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { - { \frac{ g }{ 2 } } t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Den Gesamtvorgang kann man durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { - g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Simple_Harmonic_Motion_Orbit.gif} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Simple Harmonic Motion Orbit.gif } {} {Mazemaster} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf einer Geraden, wobei die auf den Punkt
\zusatzklammer {in Richtung des Nullpunkts} {} {}
wirkende Kraft
\zusatzklammer {bzw. Beschleunigung} {} {}
proportional zur Lage des Punktes sein soll. Wenn der Punkt sich in $\R_+$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante $1$ gelangt man zur
\definitionsverweis { Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {zweiter Ordnung} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { -y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir
\mathkor {} {y(0)=0} {und} {y'(0)=v} {,}
zum Zeitpunkt $0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit $v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { v \cdot \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angeben.
}
\inputbeispiel{}
{
Ein Gegenstand der Masse $m$ wird aus der Höhe losgelassen und fällt unter dem Einfluss der Gravitation zu Boden. Dabei wirkt auf den Körper einerseits die Gravitationskraft
\mathl{gm}{}
\zusatzklammer {die Erdbeschleunigung $g$ nehmen wir für diesen Bewegungsvorgang als konstant an} {} {,}
die ihn beschleunigt, andererseits wird diese Beschleunigung durch den Luftwiderstand verringert. Nach einem physikalischen Gesetz ist die Reibung
\zusatzklammer {bei relativ kleinen Geschwindigkeiten} {} {}
proportional und entgegengesetzt zur Geschwindigkeit des Körpers. Es sei $\beta$ der Reibungswiderstand, also dieser Proportionalitätsfaktor. Die auf den Körper
\zusatzklammer {nach unten} {} {}
wirkende Gesamtkraft ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(t)
}
{ =} { gm - \beta y'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} (t)
}
{ =} { { \frac{ F(t) }{ m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt daher für diesen Bewegungsvorgang die Differentialgleichung zweiter Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} {- { \frac{ \beta }{ m } } y' +g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn wir dies mit der Ableitungsfunktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{y'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, so erhalten wir die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { - { \frac{ \beta }{ m } } v +g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die nach
Beispiel 32.11
die Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(t)
}
{ =} { c e^{- { \frac{ \beta }{ m } } t } + { \frac{ gm }{ \beta } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt. Durch Intergration erhält man für die Differentialgleichung zweiter Ordnung die Lösungsfunktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { - c { \frac{ m }{ \beta } } e^{- { \frac{ \beta }{ m } } t } + { \frac{ g m }{ \beta } } t +d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit beliebigen Konstanten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Siehe auch
Aufgabe 41.4.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {h} {I \times U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man den Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)}
}
{ =} { h { \left( t,y ,y' ,y^{\prime \prime} , \ldots , y^{(n-1)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine \definitionswort {Differentialgleichung der Ordnung}{} $n$.
}
Unter einer \stichwort {Lösung einer Differentialgleichung höherer Ordnung} {} versteht man eine $n$-mal differenzierbare Funktion
\maabbeledisp {y} {J} {\R
} {t} {y(t)
} {}
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes Teilintervall ist} {} {}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} (t)
}
{ =} { h (t,y(t),y'(t),y^{\prime \prime}(t) , \ldots , y^{(n-1)}(t) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Differentialgleichungen beliebiger Ordnung können unter Inkaufnahme von neuen Variablen auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden.
\inputfaktbeweis
{Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbdisp {h} {I \times U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)}
}
{ =} { h { \left( t,y ,y' ,y^{\prime \prime} , \ldots , y^{(n-1)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_i
}
{ \defeq} { y^{(i)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
äquivalent zum
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_0 \\v_1\\ \vdots\\v_{n-2}\\ v_{n-1} \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_{n-1}\\ h(t, v_0,v_1 , \ldots , v_{n-1}) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn
\maabbdisp {y} {J} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der
\definitionsverweis {Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)}
}
{ =} { h { \left( t,y ,y' ,y^{\prime \prime} , \ldots , y^{(n-1)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so sind alle Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i
}
{ = }{y^{(i)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 0 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
und es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i'
}
{ = }{ v_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 0 , \ldots , n-2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach Definition und schließlich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v_{n-1}'(t)
}
{ =} { { \left( y^{(n-1)} \right) }^\prime (t)
}
{ =} { y^{(n)} (t)
}
{ =} { h { \left( t,y(t) ,y'(t) ,y^{\prime \prime}(t) , \ldots , y^{(n-1)}(t) \right) }
}
{ =} { h { \left( t,v_0(t) ,v_1(t) , v_2(t) , \ldots , v_{n-1}(t) \right) }
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt
\maabbdisp {v} {J} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
\maabbeledisp {F} {I \times U} { \R^n
} {(t,v_0 , \ldots , v_{n-1}) } {F(t, v_0 , \ldots , v_{n-1}) = (v_1 , \ldots , v_{n-1}, h(t,v_0,v_1 , \ldots , v_{n-1} ))
} {,}
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten
\mathl{n-1}{} Gleichungen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{v_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$n$-mal
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)}(t)
}
{ =} { h { \left( t,y(t) ,y'(t) ,y^{\prime \prime}(t) , \ldots , y^{(n-1)}(t) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
Mit dieser Umformung ist auch klar, wie sinnvolle Anfangsbedingungen für eine Differentialgleichung höherer Ordnung aussehen. Man muss nicht nur einen Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{ w_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sondern auch die höheren Ableitungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'(t_0)
}
{ = }{ w_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} (t_0)
}
{ = }{ w_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
usw. festlegen.
Es ist im Allgemeinen schwierig, eine Differentialgleichung explizit zu lösen. Wir besprechen daher zwei approximierende Verfahren, nämlich das \stichwort {eulersche Polygonzugverfahren} {} und den Potenzreihenansatz. Über die Güte der Approximationen machen wir keine Angabe.
\zwischenueberschrift{Polygonzugverfahren}
Mit dem
\zusatzklammer {eulerschen} {} {}
Polygonzugverfahren wird die Lösungskurve einer Differentialgleichung diskret approximiert.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euler method.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Euler method.png } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputverfahren{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {F} {G} {\R^d
} {}
auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \R \times \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{P
}
{ \in }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Das \stichwort {eulersche Polygonzugverfahren} {} funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet rekursiv die Punktfolge
\mathbed {P_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_{n+1}
}
{ =} { P_n + s F(t_0+ns, P_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu einem schon konstruierten Punkt $P_n$ wird also das $s$-fache des Richtungsvektors zum Zeitpunkt
\mathl{t_0+ns}{} an diesem Punkt hinzuaddiert. Dies funktioniert nur, solange die Punkte im Definitionsbereich des Vektorfeldes liegen. Der zu dieser Punktfolge gehörende \stichwort {Streckenzug} {} oder
\stichwort {Polygonzug} {}
\maabbdisp {\delta} {\R_{\geq t_0}} {\R^d
} {}
ist die lineare Interpolation mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta (t_0+ns)
}
{ = }{P_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. für $t$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0+ ns
}
{ \leq }{ t
}
{ \leq }{ t_0+(n+1)s
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ =} { P_n+ { \frac{ t- t_0-ns }{ s } } { \left( P_{n+1}-P_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Streckenzug $\delta$ stellt eine
\definitionsverweis {stückweise lineare}{}{}
Approximation der Lösungskurve des Anfangswertproblems dar. Für eine kleinere Schrittweite wird die Approximation im Allgemeinen besser.
}
\inputbeispiel{}
{
Bei einer eindimensionalen
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich $y$ einfach als eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $g$. Wendet man in dieser Situation
Verfahren 41.6
zum Startzeitpunkt $t_0$, zum Startpunkt $c$ und zur Schrittweite $s$ an, so ergibt sich die rekursive Beziehung
\mathdisp {P_0= c \text{ und } P_{n+1} = P_n +s g(t_0 + ns)} { . }
Daher ist offenbar
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ P_n
}
{ =} { c + s { \left( g(t_0) + g(t_0 + s) + g(t_0 + 2s) + \cdots + g(t_0 + (n-1)s) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. dass man zu dem Ausgangswert $c$ das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zur äquidistanten Unterteilung
\mathl{t_0,t_0+s,t_0+2s , \ldots , t_0+ (n-1)s}{}
\zusatzklammer {und zur durch \mathlk{g(t_0+ks)}{} auf dem Teilintervall
\mathl{[t_0+ks, t_0+(k+1)s[}{} gegebenen Treppenfunktion} {} {}
hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist die
\zusatzklammer {stückweise lineare} {} {}
Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für das
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} x^2-ty \\txy \end{pmatrix}
}
{ =} { F(t,x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gemäß
Verfahren 41.6
einen approximierenden Streckenzug berechnen. Wir wählen die Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_1
}
{ =} { P_0 + { \frac{ 1 }{ 10 } } F { \left( 0 , P_0 \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1,1 \\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P_2
}
{ =} { P_1 + { \frac{ 1 }{ 10 } } F { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } , P_1 \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 11 }{ 10 } } \\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \left( { \frac{ 11 }{ 10 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot 1 \\ { \frac{ 1 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 11 }{ 10 } } \cdot 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 11 }{ 10 } } \\ 1 \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 111 }{ 100 } } \\ { \frac{ 11 }{ 100 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P_3
}
{ =} { P_2 + { \frac{ 1 }{ 10 } } F { \left( { \frac{ 2 }{ 10 } } , P_2 \right) }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \left( { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \right) } ^2 - { \frac{ 2 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 2 }{ 10 } } \cdot { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \cdot { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1211 }{ 1000 } } \\ { \frac{ 1011 }{ 1000 } } \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 10 } } \begin{pmatrix} { \frac{ 1264321 }{ 1000000 } } \\ { \frac{ 2448642 }{ 10 000 000 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 133743210 }{ 100 000 000 } } \\ { \frac{ 103548642 }{ 100 000 000 } } \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Potenzreihenansatz}
Nicht alle Differentialgleichungen sind explizit lösbar, und selbst wenn es eine explizite Lösung gibt, so ist es häufig schwierig, diese zu finden. Statt der vollen Information einer Lösungskurve begnügt man sich häufig mit der Teilinformation, die in der Taylor-Entwicklung der Kurve \zusatzklammer {bis zu einem bestimmten Grad} {} {} enthalten ist, d.h. man bestimmt gewisse Ableitungen der Kurve zu einem bestimmten Zeit- und Ortspunkt. Diese Information kann man häufig direkt aus der Differentialgleichung ablesen, ohne die Lösungskurve zu bestimmen. Diese Vorgehensweise setzt voraus, dass das Vektorfeld durch \anfuehrung{analytische}{} \zusatzklammer {beispielsweise polynomiale} {} {} Daten gegeben ist.
\inputverfahren{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {x' = F(t,x) \text{ mit } x(0) = (c_1 , \ldots , c_n) \in \R^n} { }
zu einem
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {F} {I \times \R^n} {\R^n
} {}
gegeben, wobei die Komponentenfunktionen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {polynomial}{}{}
\zusatzklammer {oder durch Potenzreihen gegeben} {} {}
seien. Dann lässt sich ein \stichwort {Potenzreihenansatz} {} für die Lösung durchführen. Das bedeutet, dass man den Ansatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_i
}
{ = }{ \sum_{k = 0}^\infty a_{ki} t^{k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit unbestimmten Koeffizienten $a_{ki}$ macht, und diese Koeffizienten
\zusatzklammer {bis zu einem gewünschten Grad} {} {}
aus den $n$ Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x'_i(t)
}
{ =} { F_i(t, x_1(t) , \ldots , x_n(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sukzessive bestimmt. Die Anfangsbedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_i(0)
}
{ =} { a_{0i}
}
{ =} { c_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
legen dabei die konstanten Koeffizienten der Potenzreihen fest. In das Differentialgleichungssystem werden die Potenzreihen links und rechts eingesetzt und ausgewertet, wobei die Ableitung links formal zu nehmen ist und rechts die Reihen formal zu addieren und zu multiplizieren sind. Dies ergibt Gleichungen für Potenzreihen in $t$, die durch Koeffizientenvergleich, beginnend mit den Koeffizienten von kleinem Grad, gelöst werden können.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachen das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= y^2t-y+t^3+e^t \text{ mit } y(0) =0} { }
und wollen es mit einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
lösen. Es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) }^\prime
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty ka_k t^{k-1}
}
{ =} { { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) }^2 t - \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k +t^3 + \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k! } } t^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Anfangsbedingung legt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fest. Für den konstanten Term
\zusatzklammer {also zu $t^0$} {} {}
ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1
}
{ =} { -a_0 +1
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für $t^1$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a_2
}
{ =} { a_0^2 -a_1 +1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für $t^2$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3a_3
}
{ =} { 2 a_0a_1 - a_2 + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_3
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $t^3$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4a_4
}
{ =} { 2 a_0a_2+a_1^2 - a_3 +1+ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { 1- { \frac{ 1 }{ 6 } } +1+ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_4
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $t^4$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5a_5
}
{ =} { 2 a_0a_3 + 2a_1a_2 - a_4 + { \frac{ 1 }{ 24 } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 24 } }
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 24 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_5
}
{ = }{ - { \frac{ 11 }{ 120 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $5$ ist demnach
\mathdisp {t + { \frac{ 1 }{ 6 } }t^3 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^4 - { \frac{ 11 }{ 120 } } t^5} { . }
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} tx-y^2 \\xy-t^2 \end{pmatrix} \text{ mit } x(0)=0 \text{ und } y(0)=1} { }
und machen den Potenzreihenansatz
\mathkor {} {x(t) = \sum_{k= 0}^\infty a_k t^k} {und} {y(t) = \sum_{k=0}^\infty b_k t^k} {.}
Aufgrund der Anfangsbedingung ist
\mathdisp {a_0=0 \text{ und } b_0=1} { . }
Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) }^\prime
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty k a_k t^{k-1}
}
{ =} { t { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) } - { \left( \sum_{k = 0}^\infty b_k t^k \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{k = 0}^\infty b_k t^k \right) }^\prime
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty k b_k t^{k-1}
}
{ =} { { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) } { \left( \sum_{k = 0}^\infty b_k t^k \right) } - t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die wir gradweise auswerten. Für den Grad $0$
\zusatzklammer {der Potenzreihengleichungen} {} {}
ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
\mathdisp {a_1 =- b_0^2 =-1 \text{ und } b_1 =a_0b_0 = 0} { . }
Für den Grad $1$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
\mathdisp {2 a_2 = a_0 - 2b_0b_1 =0 \text{ und } 2 b_2 =a_0b_1+a_1b_0 = -1} { , }
also ist
\mathkor {} {a_2=0} {und} {b_2 = - { \frac{ 1 }{ 2 } }} {.}
Für den Grad $2$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
\mathdisp {3 a_3 = a_1 - 2b_0b_2-b_1^2 =-1+ 1 = 0 \text{ und } 3 b_3 =a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0 -1 =-1} { , }
also ist
\mathkor {} {a_3= 0} {und} {b_3 = - { \frac{ 1 }{ 3 } }} {.}
Für den Grad $3$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
\mathdisp {4 a_4 = a_2 - 2b_0b_3- 2 b_1b_2 = { \frac{ 2 }{ 3 } } \text{ und } 4 b_4 =a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1 +a_3b_0 = { \frac{ 1 }{ 2 } }} { , }
also ist
\mathkor {} {a_4= { \frac{ 1 }{ 6 } }} {und} {b_4 = { \frac{ 1 }{ 8 } }} {.}
Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $4$ ist demnach
\mathdisp {\left( -t + { \frac{ 1 }{ 6 } } t^4 , \, 1 - { \frac{ 1 }{ 2 } }t^2 - { \frac{ 1 }{ 3 } }t^3 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4 \right)} { . }
}
\inputbemerkung
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{(n)}
}
{ =} { g { \left( t,y ,y' ,y^{\prime \prime} , \ldots , y^{(n-1)} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man entsprechend
Bemerkung 41.12 mit einem \stichwort {Potenzreihenansatz} {,} also mit einem Ansatz der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y (t)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty a_kt^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit unbestimmten Koeffizienten $a_k$,
\zusatzklammer {bis zu einer gewissen Ordnung} {} {}
lösen. Dazu muss die Funktion $g$
\definitionsverweis {polynomial}{}{}
\zusatzklammer {oder durch eine Potenzreihe gegeben} {} {}
sein. Damit die Lösung eindeutig ist, müssen zusätzlich Anfangsbedingungen
\mathdisp {y(0)=b_0 , y'(0)= b_1 , \ldots , y^{(n-1)}(0) = b_{n-1}} { }
vorgegeben sein. Die Koeffizienten $a_k$ werden sukzessive unter Verwendung der Differentialgleichung und der Anfangsbedingungen gelöst.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachen das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y' y + \sin t \text{ mit } y(0) =0 \text{ und } y'(0)=1} { }
und wollen es mit einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
lösen. Es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) }^{\prime \prime}
}
{ =} { \sum_{k = 2}^\infty k (k-1) a_k t^{k-2}
}
{ =} { { \left( \sum_{k = 1}^\infty k a_k t^{k-1} \right) } \cdot { \left( \sum_{k = 0}^\infty a_k t^k \right) } + \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n { \frac{ 1 }{ (2n+1) ! } } t^{2n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Anfangsbedingung legt
\mathkor {} {a_0=0} {und} {a_1=1} {}
fest. Für den konstanten Term
\zusatzklammer {also zu $t^0$} {} {}
ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 a_2
}
{ =} { a_1a_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $t^1$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6a_3
}
{ =} {a_1^2+2a_2a_0+1
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_3
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $t^2$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 12 a_4
}
{ =} { a_1a_2+2 a_2 a_1 +3a_3a_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $t^3$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 20a_5
}
{ =} { a_1a_3 + 2a_2^2 +3a_3a_1 + 4a_4a_0 - { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_5
}
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 120 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $5$ ist demnach
\mathdisp {t + { \frac{ 1 }{ 3 } } t^3 + { \frac{ 7 }{ 120 } } t^5} { . }
}