Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Die Dimensionsformel}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Dimensionsformel} {.}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und}
\faktvoraussetzung {$V$ sei endlichdimensional.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Abbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\zusatzklammer {$k \leq n$} {} {.}
Es sei
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$.
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
derart, dass
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, \, v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
eine Basis von $V$ ist. \teilbeweis {Wir behaupten, dass
\mathdisp {w_j = \varphi(v_j), \, j=1 , \ldots , n-k} { , }
eine Basis des Bildes ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element des Bildes
\mathl{\varphi(V)}{.} Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i u_i + \sum_{ j = 1 }^{ n-k } t_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{w
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i=1}^{ k } s_i u_i + \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i \varphi(u_i) + \sum_{j = 1}^{n- k } t_j \varphi (v_j)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
}
{}
{}{,}
sodass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der $w_j$ schreiben lässt.
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
der
\mathbed {w_j} {}
{j=1 , \ldots , n-k} {}
{} {} {} {,}
sei eine Darstellung der Null gegeben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gehört
\mathl{\sum_{j=1}^{n-k } t_j v_j}{} zum Kern der Abbildung und daher kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{n-k } t_j v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } s_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}}
{}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ \defeq} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Rang}{} von $\varphi$.
}
Die Dimensionsformel kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^4
} {\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}} {M\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
} {.}
Zur Bestimmung des
\definitionsverweis {Kerns}{}{}
müssen wir das
\definitionsverweis {homogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lösen. Der Lösungsraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 1 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist der Kern von $\varphi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach
der Dimensionsformel
gleich $2$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der gleichen
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 24.14.
\zwischenueberschrift{Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Bei der
\definitionsverweis {Korrespondenz}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
und
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
entsprechen sich die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von linearen Abbildungen und die
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}}
\faktzusatz {Damit ist folgendes gemeint: es seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_p , \, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n \text{ und } \mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} { . }
Es seien
\mathdisp {\psi:U \longrightarrow V \text{ und } \varphi: V \longrightarrow W} { }
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von
\mathl{\psi,\, \varphi}{} und der Hintereinanderschaltung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi \circ \psi )
}
{ =} { ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }(\psi) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Abbildungskette
\mathdisp {U \stackrel{\psi}{\longrightarrow } V \stackrel{\varphi}{\longrightarrow } W} { . }
Bezüglich der Basen werde $\psi$ durch die
\mathl{n \times p}{-}Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{(b_{jk})_{jk}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\varphi$ durch die
\mathl{m \times n}{-}Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Die Hintereinanderschaltung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} wirkt auf einen Basisvektor $u_k$ folgendermaßen.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \varphi \circ \psi \right) } { \left( u_k \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( \psi { \left( u_k \right) } \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} \varphi(v_j)
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } w_i
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} w_i
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei sind diese Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ = }{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gerade die Einträge in der
\definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}
Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.
\zwischenueberschrift{Invertierbare Matrizen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Dann heißt $M$ \definitionswort {invertierbar}{,} wenn es eine weitere Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {inverse Matrix}{} von $M$. Man schreibt dafür
\mathdisp {M^{-1}} { . }
}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Basiswechsel}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ u }} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
Basen von $W$.
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi)}{} beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
durch die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ ( M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { }
beschrieben, wobei
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
sind, die die Basiswechsel von
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {nach} {\mathfrak{ u }} {}
und von
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {nach} {\mathfrak{ z }} {}
beschreiben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die linearen Standardabbildungen
\maabb {} {K^n} {V
} {} bzw.
\maabb {} {K^m} {W
} {}
zu den Basen seien mit
\mathl{\Psi_{ \mathfrak{ v } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ u } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ w } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ z } }}{} bezeichnet. Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m \\
& \searrow \Psi_{ \mathfrak{ v } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ w } } \swarrow \!\!\!\!\! & \\
\!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & & \, \, \, \, \downarrow M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \\
& \nearrow \Psi_{ \mathfrak{ u } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ z } } \nwarrow \!\!\!\!\! & \\
K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m ,
\!\!\!\!\!
\end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf
Lemma 24.1
und
Fakt *****
beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi)
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} ) \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } )
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ u } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } } )^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } )^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ v }} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {bzw.} {\mathfrak{ v }} {}
\zusatzklammer {beidseitig} {} {}
beschreiben, die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^ \mathfrak{ u }_ \mathfrak{ u }(\varphi)
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \circ M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ v }(\varphi) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 25.8.
\inputdefinition
{}
{
Zwei quadratische Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M,N
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {ähnlich}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ B N B^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Nach Korollar 25.9 sind zu einer linearen Abbildung \maabb {\varphi} {V} {V } {} die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.
\zwischenueberschrift{Eigenschaften von linearen Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{,} wenn die Spalten der Matrix \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}{$\varphi$ ist genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} wenn die Spalten der Matrix ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $K^m$ bilden.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {bijektiv}{}{,} wenn die Spalten der Matrix eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $K^m$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn $M$ \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Basen von
\mathkor {} {V} {bzw.} {W} {}
und es seien
\mathl{s_1 , \ldots , s_n}{} die Spaltenvektoren von $M$. \teilbeweis {}{}{}
{(1). Die Abbildung $\varphi$ hat die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } s_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{s_{ij}}{} der $i$-te Eintrag des $j$-ten Spaltenvektors ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } s_{ij } w_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j s_{ij} \right) } w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist genau dann $0$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j s_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist, und dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_js_j
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dafür gibt es ein nichttriviales
\zusatzklammer {Lösungs} {-} {}Tupel
\mathl{{ \left( a_1 , \ldots , a_n \right) }}{} genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn $\varphi$ nicht injektiv ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Siehe
Aufgabe 25.3.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn $\varphi$ bijektiv ist, so gibt es die
\zusatzklammer {lineare} {} {}
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}}{} mit
\mathdisp {\varphi \circ \varphi^{-1} =
\operatorname{Id}_{ W } \text{ und } \varphi^{-1} \circ \varphi =
\operatorname{Id}_{ V }} { . }
Es sei $M$ die Matrix zu $\varphi$ und $N$ die Matrix zu $\varphi^{-1}$. Die Matrix zur Identität ist die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}
Nach
Lemma 25.5
ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \circ N
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} {N \circ M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $M$ invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.}
{}
\zwischenueberschrift{Auffinden der inversen Matrix}
\inputverfahren{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {quadratische Matrix}{}{.}
Wie kann man entscheiden, ob die Matrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist, und wie kann man die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
\mathl{M^{-1}}{} finden?
Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix $M$ steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix $M^{-1}$ als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem \stichwort {Invarianzprinzip} {.} Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer
\definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{}
$E$ von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle
\mathdisp {(M_1, M_2)} { }
steht, so steht im nächsten Schritt
\mathdisp {(EM_1,EM_2)} { . }
Wenn man das Inverse
\zusatzklammer {das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist} {.} {}
der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (EM_1)^{-1} EM_2
}
{ =} { M_1^{-1} E^{-1} E M_2
}
{ =} { M_1^{-1} M_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich
\mathl{M^{-1} E_{ n }}{,} daher muss zum Schluss für
\mathl{( E_{ n } , N)}{} gelten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N
}
{ =} { E_{ n }^{-1} N
}
{ =} { M^{-1} E_{ n }
}
{ =} { M^{-1}
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen zur Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}{} gemäß dem in
Verfahren 25.12
beschriebenen Verfahren die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
$M^{-1}$ bestimmen.
\matabellezweisieben {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -11 & -2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & -11 & -2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 9 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 11 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{-5}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{-2}{9} \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}
} }
}