Kurs:Mathematik für Anwender I/3/Klausur/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungacht{Der \stichwort {Betrag} {} einer komplexen Zahl
\mathl{z=a+b { \mathrm i}}{.}
}{Eine \stichwort {Basis} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraums}{}{} $V$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} in $\R$.
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {lineare inhomogene} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Der \stichwort {Multiplikationssatz für Determinanten} {.}
}{Das \stichwort {Folgenkriterium} {} für die Stetigkeit einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {} in einem Punkt
\mathl{a \in \R}{.}
}{Die \stichwort {Funktionalgleichung} {} der Exponentialfunktion.
}{Der \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für eine stetige Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {} auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (0.5+1+0.5)}
{
a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = \ln \left( \sqrt{1+x^2} \right) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { \sqrt[3]{x^2}
} {.}
Bestimme die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
in denen $f$ differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $\pi/2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
a) Unterteile das Intervall
\mathl{[-4,5]}{} in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf
\mathl{[-4,5]}{,} die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte
\mathl{2}{} und $-1$ annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{}
\zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion
\maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R
} {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t
} {,}
beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{1\}} { \R } {x} { { \frac{ x^5+3x^3-2x^2+x-1 }{ (x-1)^2(x^2+1) } } } {.}
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.
b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mathdisp {y'=t^2y^3} { }
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
}
{} {}