Kurs:Mathematik für Anwender I/3/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  2. Eine Basis eines - Vektorraums .
  3. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  4. Eine Cauchy-Folge in .
  5. Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
  6. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  7. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  8. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Multiplikationssatz für Determinanten.
  2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
    in einem Punkt .
  3. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
  4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Aufgabe * (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


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