Kurs:Numerik I/Normen und Fehlerabschätzungen
Einführung Bearbeiten
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Ziel Bearbeiten
In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix und des Vektors auf die Lösung des linearen Gleichungssystems untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus und Matrizen aus zulassen, wobei oder ist.
Fehlerabschätzung in reellen Zahlen Bearbeiten
Sei ein exakter Wert (Sollwert) (z.B. ) und ( ) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass
Absoluter Fehler Bearbeiten
heißt absoluter Fehler (im Beispiel: ).[1]. Der absolute Fehler besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert.
Relativer Fehler Bearbeiten
- heißt im Falle relativer Fehler.
Fehlerschranke Bearbeiten
- Wenn ist, so heißt absolute Fehlerschranke.
- Wenn gilt, so heißt relative Fehlerschranke.
Abschätzung der Fehlerschranke Bearbeiten
Für die relative Fehlerschranke gilt folgende Abschätzung:
Absolu
Fehlerabschätzung in normierten Räumen Bearbeiten
Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen.
Beispiel Bearbeiten
Sei die exakte vektorielle Darstellung (Sollvektor). Als Beispiel wird der Vektor verwendet. Wenn man als näherungsweise Darstellung von in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor darstellt (d.h. ).
Fehler Bearbeiten
Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt , so ist die Darstellung exakt.
Normen - Fehlerabschätzung 1 Bearbeiten
Im Folgenden sei ein beliebiger Vektorraum über . Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren und über die Metrik Längen von einem Vektor über die Norm messen kann.
Normen - Fehlerabschätzung 2 Bearbeiten
Die über die Abbildung Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor einen Fehler:
- (N1) - Fehlervektor - Nullvektor
- (N2) - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren,
- (N3) - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung.
Vektornorm - Matrixnorm Bearbeiten
Eine Norm wird auch Vektornorm und entsprechend eine Norm auch Matrixnorm genannt.
Fehler in Summen Bearbeiten
Seien die exakten Vektoren und die numerische Näherung von bzw. . Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen:
Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor Bearbeiten
Sei der exakte Vektor und die numerische Näherung von . Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen:
- .
Der Fehler vervielfacht somit um bei der Multiplikation mit Skalaren.
Fehlerschranken in normierten Räumen Bearbeiten
Sei ein normierter Raum und dann kann man mit der Norm die Länge des Fehlervektors bestimmen.
- Wenn ist, so heißt absolute Fehlerschranke für den Fehlervektor .
- Wenn gilt, so heißt relative Fehlerschranke.
Abschätzung der Fehlerschranke in normierten Räumen Bearbeiten
Für die relative Fehlerschranke gilt in einem normierten Raum folgende Abschätzung:
Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung Bearbeiten
Für eine Norm gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung
Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung Bearbeiten
Es seien . Dann gilt
Beweis 1 Bearbeiten
Damit erhält man durch Umformung
- (UDG1)
Nun betrachten wir
- (UDG1)
Beweis 2 Bearbeiten
Das Vertauschen von und liefert analog folgende Abschätzung
Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung.
Fehler bei Differenzen Bearbeiten
Seien die exakten Vektoren und die numerische Näherung von bzw. . Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen:
Man kann also den Betrag der Differenz der Einzelfehler nach oben gegen Norm des Subtraktionsfehlers abschätzen.
Fehler bei Differenzen - Abschätzung nach oben Bearbeiten
Den Fehler der Differenz kann man oben gegen die Summe der Einzelfehler abschätzen und nicht gegen die Differenz der Einzelfehler.
Vektorraum - Norm - Fehlermaße Bearbeiten
Einen Vektorraum , auf dem eine Norm definiert ist, bezeichnet man als einen normierten Vektorraum. Man kennzeichnet ihn auch durch . Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab.
Konvergenz im normierten Raum Bearbeiten
Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung zum Zeitpunkt an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen.
Definition - Konvergenz im normierten Raum Bearbeiten
Es sei ein normierter Vektorraum. Eine Folge von Elementen konvergiert gegen , kurz
wenn gilt:
Korollar - Stetigkeit der Normabbildung Bearbeiten
Eine Norm ist stetig, d. h., es gilt
Beispiele von Normen Bearbeiten
Es sei . Beispiele für Vektornomen sind
- (1) (Euklidische oder -Norm),
- (2) (Summen- oder -Norm),
- (3) (Maximum- oder -Norm).
Aufgaben - Normeigenschaften Bearbeiten
- Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen.
- Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen.
Beweis 1 - Euklidische Norm Bearbeiten
Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Und zwar schließt man mit
für
Beweis 2 - Euklidische Norm Bearbeiten
Damit erhält man folgende Abschätzung:
für alle gilt, wobei den Realteil von bezeichnet.
Dreicksungleichung für lp-Normen Bearbeiten
Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes durch
- ( -Norm)
eine Norm definiert,
lp-Normen und Maximumsnorm Bearbeiten
Es gilt folgende Konvergenzaussage:
Normenäquivalenzsatz Bearbeiten
Man kann mit dem Normenäquivalenzsatz zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum definierte Normen und äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten gibt, so dass gilt:
Fehlerschranken Bearbeiten
Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm durch eine äquivalente Norm ersetzt.
Abschätzungen der Normen Bearbeiten
Bei den oben genannten Beispielnormen auf gelten die folgenden Abschätzungen:
- (A1)
- (A2)
- (A3)
Aufgaben Bearbeiten
Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung.
Nachweis der Abschätzung (A3) Bearbeiten
Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus
Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus
wobei der Vektor ist, der in jeder Komponenten ist.
Bemerkung - Abschätzung (A3) Bearbeiten
Für große sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos.
Beispiele - Matrixnormen Bearbeiten
Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen :
- (M1) (Frobenius-Norm),
- (M2) (Zeilensummennorm),
- (M3) (Spaltensummennorm).
Aufgabe - Normeigenschaften Bearbeiten
Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen,
Identifikation Matrizen mit Vektoren Bearbeiten
Jede Matrix lässt sich als Vektor der Länge auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften.
Definition - Submultiplikativität Bearbeiten
Eine Matrixnorm nennt man submultiplikativ, falls
Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm Bearbeiten
Eine Matrixnorm nennt man mit einer gegebenen Vektornorm verträglich, falls folgende Abschätzung gilt:
Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen Bearbeiten
Man kann eine quadratische Matrix als lineare Abbildung von dem auffassen. Die obige Abschätzung hängt mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen zusammen, da stetige lineare Operatoren eine endliche Operatornorm besitzen.
Definition - Induzierte Matrixnorm Bearbeiten
Sei eine Vektornorm. Dann heißt die durch
definierte Norm die durch die Vektornorm induzierte Matrixnorm (oder auch Operatornorm von ).
Bemerkung Bearbeiten
Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) .
Satz - Induzierten Matrixnorm Bearbeiten
Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm
- (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften,
- (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und
- (IM3) submultiplikativ
Beweis - Induzierten Matrixnorm Bearbeiten
Es seien die Vektornorm und die induzierte Matrixnorm.
(IM1) Normeigenschaften Bearbeiten
Die Normeigenschaften der Vektornorm liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm unmittelbar.
(IM2) Verträglichkeit Bearbeiten
Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus
für .
(IM3) Submultiplikativität - 1 Bearbeiten
Weiter gilt für und mit
(IM4) Submultiplikativität - 2 Bearbeiten
Im Fall gilt dann
Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm.
Siehe auch Bearbeiten
Quellennachweise Bearbeiten
- ↑ Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S. 151.
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