Kurs:Numerik I/Normen und Fehlerabschätzungen

Einführung

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In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix   und des Vektors   auf die Lösung des linearen Gleichungssystems   untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus   und Matrizen aus   zulassen, wobei   oder   ist.

Fehlerabschätzung in reellen Zahlen

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Sei   ein exakter Wert (Sollwert) (z.B.  ) und   ( ) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass  

Absoluter Fehler

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  heißt absoluter Fehler (im Beispiel:  ).[1]. Der absolute Fehler   besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert.

Relativer Fehler

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  heißt im Falle   relativer Fehler.

Fehlerschranke

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  • Wenn   ist, so heißt   absolute Fehlerschranke.
  • Wenn   gilt, so heißt   relative Fehlerschranke.

Abschätzung der Fehlerschranke

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Für die relative Fehlerschranke gilt folgende Abschätzung:

 

Absolu

Fehlerabschätzung in normierten Räumen

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Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen.

Beispiel

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Sei   die exakte vektorielle Darstellung (Sollvektor). Als Beispiel wird der Vektor   verwendet. Wenn man   als näherungsweise Darstellung von   in Berechnungen verwendet, so kann man z.B.   als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor   darstellt (d.h.  ).

Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und   liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt  , so ist die Darstellung exakt.

Normen - Fehlerabschätzung 1

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Im Folgenden sei   ein beliebiger Vektorraum über  . Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren   und   über die Metrik   Längen   von einem Vektor   über die Norm messen kann.

Normen - Fehlerabschätzung 2

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Die über die Abbildung   Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor   einen Fehler:

  • (N1)   - Fehlervektor   - Nullvektor
  • (N2)   - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren,
  • (N3)   - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung.

Vektornorm - Matrixnorm

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Eine Norm   wird auch Vektornorm und entsprechend eine Norm   auch Matrixnorm genannt.

Fehler in Summen

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Seien   die exakten Vektoren und   die numerische Näherung von   bzw.  . Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen:

 

Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor

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Sei   der exakte Vektor und   die numerische Näherung von  . Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen:

 .

Der Fehler vervielfacht somit um   bei der Multiplikation mit Skalaren.

Fehlerschranken in normierten Räumen

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Sei   ein normierter Raum und dann kann man mit der Norm die Länge des Fehlervektors   bestimmen.

  • Wenn   ist, so heißt   absolute Fehlerschranke für den Fehlervektor  .
  • Wenn   gilt, so heißt   relative Fehlerschranke.

Abschätzung der Fehlerschranke in normierten Räumen

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Für die relative Fehlerschranke gilt in einem normierten Raum   folgende Abschätzung:

 

Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung

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Für eine Norm   gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung

 

Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung

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Es seien  . Dann gilt

 

Beweis 1

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Damit erhält man durch Umformung

  • (UDG1)  

Nun betrachten wir

  • (UDG1)  

Beweis 2

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Das Vertauschen von   und   liefert analog folgende Abschätzung

(UDG2)  

Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung.

q.e.d.

Fehler bei Differenzen

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Seien   die exakten Vektoren und   die numerische Näherung von   bzw.  . Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen:

 

Man kann also den Betrag der Differenz der Einzelfehler nach oben gegen Norm des Subtraktionsfehlers abschätzen.

Fehler bei Differenzen - Abschätzung nach oben

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Den Fehler der Differenz kann man oben gegen die Summe der Einzelfehler abschätzen und nicht gegen die Differenz der Einzelfehler.

 

Vektorraum - Norm - Fehlermaße

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Einen Vektorraum  , auf dem eine Norm   definiert ist, bezeichnet man als einen normierten Vektorraum. Man kennzeichnet ihn auch durch  . Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab.

Konvergenz im normierten Raum

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Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung   zum Zeitpunkt   an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen.

Definition - Konvergenz im normierten Raum

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Es sei   ein normierter Vektorraum. Eine Folge   von Elementen   konvergiert gegen  , kurz

 

wenn gilt:

 

Korollar - Stetigkeit der Normabbildung

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Eine Norm   ist stetig, d. h., es gilt

 

Beispiele von Normen

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Es sei  . Beispiele für Vektornomen sind

  • (1)   (Euklidische oder  -Norm),
  • (2)   (Summen- oder  -Norm),
  • (3)   (Maximum- oder  -Norm).

Aufgaben - Normeigenschaften

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  • Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen.
  • Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen.

Beweis 1 - Euklidische Norm

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Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung. Und zwar schließt man mit

 

für  

Beweis 2 - Euklidische Norm

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Damit erhält man folgende Abschätzung:

 

für alle   gilt, wobei   den Realteil von   bezeichnet.

Dreicksungleichung für lp-Normen

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Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes   durch

  ( -Norm)

eine Norm definiert,

lp-Normen und Maximumsnorm

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Es gilt folgende Konvergenzaussage:

 

Normenäquivalenzsatz

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Man kann mit dem Normenäquivalenzsatz zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum   definierte Normen   und   äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten   gibt, so dass gilt:

 

Fehlerschranken

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Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm   durch eine äquivalente Norm   ersetzt.

Abschätzungen der Normen

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Bei den oben genannten Beispielnormen auf   gelten die folgenden Abschätzungen:

  • (A1)  
  • (A2)  
  • (A3)  

Aufgaben

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Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung.

Nachweis der Abschätzung (A3)

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Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus

 

Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus

 

wobei   der Vektor ist, der in jeder Komponenten   ist.

Bemerkung - Abschätzung (A3)

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Für große   sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos.

Beispiele - Matrixnormen

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Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen  :

  • (M1)   (Frobenius-Norm),
  • (M2)   (Zeilensummennorm),
  • (M3)   (Spaltensummennorm).

Aufgabe - Normeigenschaften

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Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen,

Identifikation Matrizen mit Vektoren

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Jede Matrix   lässt sich als Vektor der Länge   auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften.

Definition - Submultiplikativität

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Eine Matrixnorm   nennt man submultiplikativ, falls

 

Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm

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Eine Matrixnorm   nennt man mit einer gegebenen Vektornorm   verträglich, falls folgende Abschätzung gilt:

 

Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen

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Man kann eine quadratische Matrix   als lineare Abbildung von dem   auffassen. Die obige Abschätzung   hängt mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen zusammen, da stetige lineare Operatoren eine endliche Operatornorm besitzen.

Definition - Induzierte Matrixnorm

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Sei   eine Vektornorm. Dann heißt die durch

 

definierte Norm die durch die Vektornorm   induzierte Matrixnorm (oder auch Operatornorm von  ).

Bemerkung

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Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge   und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von   tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix)  .

Satz - Induzierten Matrixnorm

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Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm

  • (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften,
  • (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und
  • (IM3) submultiplikativ

Beweis - Induzierten Matrixnorm

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Es seien   die Vektornorm und   die induzierte Matrixnorm.

(IM1) Normeigenschaften

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Die Normeigenschaften der Vektornorm   liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm   unmittelbar.

(IM2) Verträglichkeit

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Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus

 

für  .

(IM3) Submultiplikativität - 1

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Weiter gilt für   und   mit  

 

(IM4) Submultiplikativität - 2

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Im Fall   gilt dann

 

Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm.

q.e.d.

Siehe auch

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Quellennachweise

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  1. Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S. 151.

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