Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R } { S^1 } {t} { { \left( \cos t , \sin t \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbele {\varphi_n} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {w} {w^n } {,} und \maabbele {\varphi_k} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {y} {y^k } {,} Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 6.2. Charakterisiere, wann es eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\theta} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {} gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall $\theta$ ebenfalls eine Überlagerung?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad $\geq 2$ und sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
die zugehörige Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ keine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{z^2+z+1
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\maabb {\varphi} { \varphi^{-1}(U) } {U
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbele {\varphi_n} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} {w^n
} {,}
die Potenzüberlagerung im Sinne von
Beispiel 6.2
und
\maabbele {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} { \exp w
} {,}
die Exponentialüberlagerung im Sinne von
Beispiel 6.3.
Zeige, dass es eine stetige Abbildung
\maabb {\theta} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {}
derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ \theta }{\longrightarrow} & {\mathbb C} ^{\times} & \\ & \!\!\! \!\! \exp \searrow & \downarrow \varphi_n \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C} ^{\times} & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Ist $\theta$ eine Überlagerung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} { Y } { X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {Y} {und} {X} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass
\maabbdisp {p {{|}}_{p^{-1} (T)}} {p^{-1} (T)} { T
} {}
ebenfalls eine Überlagerung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit $X$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.} Zeige, dass dann auch $Y$ hausdorffsch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit $Y$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.} Zeige, dass dann auch $X$ hausdorffsch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} { Y } { X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {Y} {und} {X} {}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
sei. Zeige, dass $p$ genau dann eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist, wenn die beiden Einschränkungen von $p$ auf
\mathl{p^{-1}(T)}{} und auf
\mathl{p^{-1}(X \setminus T)}{} Überlagerungen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
sei. Zeige, dass dann auch
\maabbdisp {p {{|}}_Z} {Z} {X
} {}
eine Überlagerung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {offene Abbildung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$. Zeige, dass die Inklusion
\maabb {} {U} {X
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist, wenn $U$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{} und die punktierte
\definitionsverweis {offene Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{0\}}{} nicht
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es bei einer
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}
zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen
\definitionsverweis {stetigen Schnitt}{}{}
\maabb {s} {U} { p^{-1}(U)
} {}
zu $p$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {Y} {und} {X} {,} wobei $Y$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} sei. Zeige, dass es dann zu einem \definitionsverweis {stetigen Weg}{}{} \maabb {\gamma} {[0,1]} {X } {} höchstens eine \definitionsverweis {stetige Liftung}{}{} \maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[0,1]} {Y } {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R \setminus \{0\}
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R \setminus \{0\}
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
miteinander verklebt. Ist der entstehende Raum
\definitionsverweis {Hausdorffsch}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $Y$ der in Aufgabe 6.16 konstruierte \definitionsverweis {topologische Raum}{}{} und sei \maabb {p} {Y} {\R } {} die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} ist und dass die Liftung von stetigen Wegen aber nicht eindeutig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Intervall lokale Homoeomorphie.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Intervall lokale Homoeomorphie.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vereinigung der halboffenen Verbindungsstrecken $Y_n$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_{\geq 2 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwischen dem Punkt
\mathl{(0,n)}{} und dem Punkt
\mathl{\left( { \frac{ n-1 }{ n } } , \, n \right)}{.} Es sei $Y$ versehen mit der
\definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{}
und sei
\maabb {p} {Y} {[0,1]
} {}
die Projektion auf die erste Komponente.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $p$ ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{}
ist.
} {
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {[0,1]
} {}
der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung
\mathl{\gamma{{|}}_{[0,s]}}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Liftung}{}{}
besitzt, aber nicht $\gamma$ selbst.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vereinigung der Verbindungsstrecken $Y_n$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwischen dem Punkt
\mathl{(0,0)}{} und dem Punkt
\mathl{\left( { \frac{ n }{ n+1 } } , \, n-1 \right)}{.} Es sei $Y$ versehen mit der
\definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{}
und sei
\maabb {p} {Y} {[0,1]
} {}
die Projektion auf die erste Komponente. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {[0,1]
} {}
der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung
\mathl{\gamma{{|}}_{[0,s]}}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Liftung}{}{}
besitzt, aber nicht $\gamma$ selbst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {X} {X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $Y$ der in Aufgabe 6.16 konstruierte \definitionsverweis {topologische Raum}{}{.} Beschreibe einen \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {Y} {Y } {,} dessen \definitionsverweis {Fixpunktmenge}{}{} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei
\maabb {\varphi} {Y} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {Decktransformation}{}{.}
Zeige, dass zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch $\varphi {{|}}_{p^{-1} (T)}$ eine Decktransformation der Überlagerung
\maabb {} {p^{-1}(T)} {T
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {zusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und $F$ ein \definitionsverweis {diskreter}{}{} topologischer Raum. Bestimme die \definitionsverweis {Decktransformationsgruppe}{}{} zur trivialen \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} \maabb {p} {X \times F} {X } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} zwischen \definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Decktransformation}{}{} \maabbdisp {\varphi} {Y} {Y } {} \definitionsverweis {holomorph}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe}{}{}
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
\maabb {h} {X} { {\mathbb C}
} {}
die nach $Y$ zurückgezogene Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ \defeq} { h \circ p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass für jede
\definitionsverweis {Decktransformation}{}{}
\maabb {\theta} {Y} {Y
} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g \circ \theta
}
{ =} { g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Die Überlagerung sei nun
\definitionsverweis {normal}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {g} {Y} { {\mathbb C}
} {}
eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation $\theta$ die Identität
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \circ \theta
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion
\maabb {h} {X} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ h \circ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $Y$ der in Aufgabe 6.16 konstruierte \definitionsverweis {topologische Raum}{}{} und sei \maabb {p} {Y} {\R } {} die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung \definitionsverweis {stetig}{}{,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} \definitionsverweis {endlich}{}{} und ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} ist, aber keine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{.} Welche Voraussetzung von Satz 6.19 ist verletzt?
}
{} {}