Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Das Residuum einer Kohomologieklasse}
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Nach
Satz 16.15
gibt es eine exakte kurze Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_X \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(1,0)} \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(2)} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Eine Kohomologieklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ H^1(X, \Omega_X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H^1(X,{ \mathcal E }^{(1,0)} )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über den verbindenden Homomorphismus von einer Flächenform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ \in }{ H^0(X,{ \mathcal E }^{(2)} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert. Diese ist bis auf das Bild einer differenzierbaren $(1,0)$-Form, also $d \omega$, eindeutig bestimmt. Nach
Satz 89.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X d \omega
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir definieren das \stichwort {Residuum} {} zur Kohomologieklasse $c$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ } \left( c \right)
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_X \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies ist unabhängig von der gewählten Flächenform $\sigma$, die $c$ realisiert. Dies definiert einen Homomorphismus
\maabbdisp {} { H^1(X, \Omega_X)} { {\mathbb C}
} {.}
Dieser ist surjektiv, da es auf $X$ nach
Satz 88.10 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))
reelle überall positive Flächenformen gibt, deren Gesamtintegral somit positiv ist.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ die Flächenform
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z }^4 } } dz \wedge d \, \overline{ z }} {bzw.} {{ \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } dz^{-1} \wedge d \, \overline{ z^{-1} }} {}
auf der affinen Standardüberdeckung $U$ bzw. auf $V$. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } dz^{-1} \wedge d \, \overline{ z^{-1} }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } \cdot { \frac{ -1 }{ z^2 } } dz \wedge \overline{ d z^{-1} }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } \cdot { \frac{ -1 }{ z^2 } } dz \wedge { \frac{ -1 }{ \overline{ z }^2 } } d \, \overline{ z }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } \cdot { \frac{ -1 }{ z^2 } } \cdot { \frac{ -1 }{ \overline{ z }^2 } } dz \wedge d \, \overline{ z }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ z^2 \overline{ z }^2 } } dz \wedge d \, \overline{ z }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z^{-1} }^4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ \betrag { z }^4 } } dz \wedge d \, \overline{ z }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z }^4 } } dz \wedge d \, \overline{ z }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform $\sigma$ auf der projektiven Geraden.
Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(1,0)} \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(2)} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
aus
Satz 16.15.
Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform $\sigma$ die äußere Ableitung einer $1$-Form. Auf $U$ ist nach
Aufgabe 1.15
\mathdisp {- { \frac{ 1 }{ z } } \arctan { \left( z \overline{ z } \right) } dz} { }
ein Urbild und auf $V$ entsprechend
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ - { \frac{ 1 }{ w } } \arctan { \left( w \overline{ w } \right) } dw
}
{ =} { - z \arctan { \left( { \left( z \overline{ z } \right) }^{-1} \right) } d z^{-1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } } \arctan { \left( { \left( z \overline{ z } \right) }^{-1} \right) } d z
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese $1$-Formen jeweils auf $U$ bzw. auf $V$ definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung von
Aufgabe 21.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ z } } { \left( \arctan { \left( z \overline{ z } \right) } + \arctan { \left( { \left( z \overline{ z } \right) } ^{-1} \right) } \right) } dz
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 2 } } \cdot { \frac{ dz }{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf $U \cap V$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in $H^1( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } , \Omega_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } )$.
Unter Verwendung von
Aufgabe 74.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } \sigma
}
{ =} { \int_U { \frac{ 1 }{ 1+ \betrag { z }^4 } } dz \wedge d \, \overline{ z }
}
{ =} { -2 { \mathrm i} \int_{\R^2} { \frac{ 1 }{ 1+ { \left( x^2+y^2 \right) }^2 } } dx \wedge d y
}
{ =} { - { \mathrm i} \pi^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } { \left( - { \mathrm i} \pi^2 \right) }
}
{ =} { - { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Nach
Lemma 18.15
gibt es auch die kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_X \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M^{(1)} } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal T^{(1)} } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
mit der man ebenfalls die erste Kohomologie der holomorphen Differentialformen beschreiben kann. Auch in dieser Situation definieren wir das Residuum.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal T^{(1)} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen}{}{.}
Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ } \left( \tau \right)
}
{ \defeq} { \sum_{P \in X} \operatorname{Res}_{ P } \left( \tau \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionswort {Residuum}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {Gesamtresiduum}{}} {} {}
von $\tau$.
}
Dabei ist
\mathl{\operatorname{Res}_{ P } \left( \tau \right)}{} einfach der Koeffizient von $f$ zu $z^{-1}$, wenn die Hauptteilverteilung im Punkt $P$ durch die meromorphe Differentialform $fdz$ mit einem lokalen Parameter $z$ um $P$ beschrieben wird. Wir zeigen, dass die beiden Definitionen miteinander kompatibel sind.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal T^{(1)} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ } \left( \tau \right)
}
{ =} { \operatorname{Res}_{ } \left( \delta (\tau) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\delta$ den
\definitionsverweis {verbindenden Homomorphismus}{}{}
zur kurzen exakten Garbensequenz aus
Lemma 18.15
bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung ${\mathbb C}$-linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt $P$ konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform $\tau$ auf einer offenen Kreisscheibenumgebung $U$, wobei $\tau$ auf $U \setminus \{P\}$ holomorph sei, und durch die Nullform auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ X \setminus \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert. Der erste
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
in $\Omega_X$, also $\delta \tau$, wird dann durch die holomorphe Differentialform $\tau$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U \cap V
}
{ =} { U \setminus \{P\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum $1$-Formen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_1
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U, { \mathcal E^{(1,0)} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega_2
}
{ \in }{ \Gamma { \left( V, { \mathcal E^{(1,0)} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ =} { \omega_1- \omega_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $U \setminus \{P\}$. Da $\tau$ holomorph ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d \tau
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Satz 16.15.
Somit legen diese $1$-Formen die $2$-Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ \in }{H^0(X,{ \mathcal E }^{(2)} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fest, wobei lokal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d \omega_1
}
{ =} { \sigma
}
{ =} { d \omega_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Ferner gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta \tau
}
{ =} { \delta \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{H^1(X, \Omega_X)}{,} wobei die beiden $\delta$ verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man $\sigma$ über der Fläche intergrieren.
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U'
}
{ \subset }{ U^{\prime \prime}
}
{ \subset }{ U
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene Kreisumgebungen
\zusatzklammer {in der Karte} {} {}
mit unterschiedlichen Radien. Es sei $f$ eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf $X$, die auf $U'$ den konstanten Wert $1$ und außerhalb von $U^{\prime \prime}$ den konstanten Wert $0$ besitzt, was es nach
Satz 25.3
gibt. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \defeq }{1-f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Form
\mathl{g \omega_2}{} ist auf $V$ definiert, da sie aber auf $U'$ den Wert $0$ hat, kann man sie zu einer globalen Form aus
\mathl{{ \mathcal E^{(1,0)} }}{} fortsetzen. Ferner besitzt $f \omega_2$ auf $U' \setminus \{P\}$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(f \omega_2)
}
{ =} { d \omega_2
}
{ =} { d { \left( \omega_1 -\tau \right) }
}
{ =} { d \omega_1
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da $\tau$ holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form $d(f \omega_2)$ als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ =} { d g \omega_2 + d f \omega_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei dies auf $V$ unmittelbar wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g+f
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt und auf $U'$ ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nach
dem Satz von Stokes (ohne Rand)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X d (g \omega_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist unter Verwendung
des Satzes von Stokes (mit Rand)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Res}_{ } \left( \delta (\tau) \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_X \sigma
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_X d g \omega_2 + d f \omega_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_X d f \omega_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_U d f \omega_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_U d { \left( f \omega_1 - f \tau \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma f \omega_1 -f \tau
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma -f \tau
}
{ =} { \operatorname{Res}_{ P } \left( f \tau \right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \operatorname{Res}_{ P } \left( \tau \right)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{,}
wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von $P$ in $U \setminus U^{\prime \prime}$ ist und worauf $f \omega_1$ gleich $0$ ist.