Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
in $\R^2$.
\aufzaehlungvier{
\mathl{V(XY-1)}{,}
}{
\mathl{V(XY+1)}{,}
}{
\mathl{V(X^2Y-1)}{,}
}{
\mathl{V(X^2Y^2-1)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
in $\R^2$.
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{V(X^2-Y^2)}{,}
}{
\mathl{V(X^2Y-XY^2)}{,}
}{
\mathl{V(X^2-XY^2)}{,}
}{
\mathl{V(X^2-Y^3)}{,}
}{
\mathl{V(X^2-Y^4)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
der
\definitionsverweis {binomialen Gleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^a-Y^b
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige
\definitionsverweis {binomiale Polynom}{}{.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{Das Polynom
\mathl{X^a-Y^b}{} ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
}{Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung
\maabbeledisp {} { K} { V(X^a-Y^b) \subseteq K^2
} {t} { (t^b,t^a)
} {.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt
\mathl{V(X^a-Y^b)}{} eine
\definitionsverweis {isolierte Singularität}{}{}
im Nullpunkt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( X^{d+1}-Y^d \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte algebraische Kurve $C$
\zusatzklammer {\mathlk{d \geq 1}{}} {} {.}
Zeige, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{V(X-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
eine
\definitionsverweis {Parametrisierung}{}{}
von $C$ erhält: Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmt man die Verbindungsgerade $G_P$ von $P$ und dem Nullpunkt und den einzigen
\zusatzklammer {?} {} {}
vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von
\mathl{C \cap G_P}{.} Zeige, dass die Abbildung, die $P$ auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^a-Y^b
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige
\definitionsverweis {binomiale Polynom}{}{.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass der durch
\mathl{X \mapsto T^b}{,}
\mathl{Y \mapsto T^a}{,} gegebene
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X,Y]/ { \left( X^a-Y^b \right) } } { K[T]
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}{Zeige, dass dieser Homomorphismus einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { { \left( K[X,Y]/ { \left( X^a-Y^b \right) } \right) }_X } { K[T]_T
} {}
induziert.
}{Man folgere, dass für jedes
\mathbed {c \in K} {}
{c \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ein Isomorphismus von
\definitionsverweis {lokalen Ringen}{}{}
\maabbdisp {} { { \left( K[X,Y]/ { \left( X^a-Y^b \right) } \right) }_{(X- c^b,Y-c^a)} } { K[T]_{(T-c)}
} {}
vorliegt.
}{Zeige, dass der induzierte Homomorphismus
\maabbdisp {} { { \left( K[X,Y]/ { \left( X^a-Y^b \right) } \right) }_{(X,Y)} } { K[T]_{(T)}
} {}
kein Isomorphismus ist.
}
}
{} {}
Ein wichtiger und suggestiver Ansatz, um die lokale Dimension einer
\zusatzklammer {eingebetteten} {} {}
\definitionsverweis {Varietät}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu erfassen, ist es, $V$ mit affin-linearen Unterräumen $L$ unterschiedlicher Dimension, die durch den Punkt verlaufen, zu schneiden, und zu schauen, ob der Durchschnitt den Punkt isoliert, ob also in einer offenen Umgebung des Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V \cap L
}
{ = }{ \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die lokale Dimension $d$ im Punkt $P$ ist dann definiert durch die Eigenschaft, dass es
\mathl{n-d}{-}dimensionale lineare Räume durch den Punkt $P$ gibt, die den Punkt isolieren, aber keine
\mathl{n-d+1}{-}dimensionale Räume mit dieser Eigenschaft. Beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} {V
}
{ \subseteq} {K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zweidimensional, wenn es Geraden gibt, die den Punkt herausschneiden, aber der Schnitt mit jeder Ebene den Punkt nicht herausschneidet.
Dieser Ansatz wird in
Korollar 22.10
begründet. Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V(XY-Z^n)
}
{ \subset }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
} {Zeige, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt
\mathl{V \cap G}{} nur aus endlich vielen Punkten besteht.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V { \left( Z^2-X^2-Y^2 \right) }
}
{ \subset} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der reelle
\definitionsverweis {Standardkegel}{}{.}
Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V \cap E
}
{ =} { \{(0,0,0)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V { \left( Z^2-XY \right) }
}
{ \subset} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V \cap E
}
{ =} { \{(0,0,0)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(Z^2-XY)
}
{ \subset} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und setze
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in V \setminus \{(0,0,0) \} \mid x,y \geq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\maabbeledisp {} { \R_+ \times S^1} { V_+
} {(\alpha, \theta)} { \left( { \frac{ \alpha }{ 2 } } + { \frac{ \alpha }{ 2 } } \sin \theta , \, { \frac{ \alpha }{ 2 } } - { \frac{ \alpha }{ 2 } } \sin \theta , \, { \frac{ \alpha }{ 2 } } \cos \theta \right)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $\R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} \mathkor {} {\R[X,Y,Z]/(Z^2-X^2-Y^2)} {und} {\R[X,Y,Z]/(Z^2-XY)} {} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber nicht, wenn man $Z$ auf $Z$ abbildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(f)
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {algebraische Hyperfläche}{}{}
zu einem nichtkonstanten Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass es Geraden durch den Punkt $P$ gibt, deren Durchschnitt mit $V$ endlich ist. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit jeder Ebene durch den Punkt $P$ nicht endlich ist
\zusatzklammer {und dass $P$ kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^aY^b
}
{ = }{Z^c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Hyperfläche}{}{}
im ${\mathbb C}^3$
}
{} {}
Wir besprechen eine andere Sichtweise auf
Beispiel 5.7.
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y,Z]/(X - YZ,Y - XZ )} { }
zum Restklassenring
\mathdisp {K[X,Z]/ { \left( X - XZ^2 \right) }} { }
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( X-XZ^2 \right) }
}
{ \subseteq} {K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme die singulären Punkte von
\mathl{V { \left( X-XZ^2 \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V { \left( XY-Z^3,X^2Z-Y^2 \right) }
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left( U^5-V^3, U^{11}-W^3,V^{11}-W^5 \right) }
}
{ \subseteq} { K[U,V,W]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das zugehörige Nullstellengebilde
\mathl{Z=V({\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{.} Zeige, dass
\mathl{W-U^2V}{} zum Radikal von ${\mathfrak a}$ gehört. Zeige damit, dass $Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)}{} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die beiden Abbildungen
\mathdisp {(s,t) \longmapsto (s^2,t^2,st)=(x,y,z) \text{ und } (s,t) \longmapsto (s,st^2,st)=(x,y,z)} { . }
Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung $F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Welche Abbildung liefert eine \anfuehrung{bessere}{} Beschreibung von $V(F)$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU)
}
{ \subseteq} { {\mathbb K}^6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU)
}
{ \subseteq} { K^6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{V \cap L}{} mit dreidimensionalen
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subset }{K^6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
} {Zeige, dass es zweidimensionale Untervektorräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subset }{K^6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass der Durchschnitt
\mathl{V \cap L}{} nur aus endlich vielen Punkten besteht.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X,Y,Z,U,V,W]} { K[X,Y,Z,T]
} {}
mit
\mathdisp {X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, Z\mapsto Z,\, U \mapsto XT,\, V \mapsto YT,\, W \mapsto ZT,} { }
das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU)}{} zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
gehört. Zeige, dass der induzierte Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { { \left( K[X,Y,Z,U,V,W]/(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) \right) }_Z } { K[X,Y,Z,T]_Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (XV-YU, YW-ZV,XW-ZU)
}
{ \subseteq} { K[X,Y,Z,U,V,W]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die in Beispiel 5.1 beschriebene Abbildung \maabbeledisp {} { { \left( K^{\times} \right) }^ {n-1} } { V { \left( X_1 \cdots X_n-1 \right) } } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{n-1} \right) } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{n-1} , \, { \frac{ 1 }{ x_1 \cdots x_{n-1 } }} \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \zusatzklammer {bezüglich der multiplikativen Strukturen} {} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{f \in R}{} mit zugehöriger
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$. Beweise die
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f
}
{ \cong} { R[T]/(Tf- 1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}