Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, den Begriff der reellwertigen Zufallsvariable mit dem Wertebereich $\mathbb {R}$ zu verallgemeinern und mit einer Zufallsvariable $X:\Omega \to V$ einem Ergebnis $\omega \in \Omega$ ein Element $X(\omega )\in V$ zuordnet. Dabei kann $V$ natürlich klassisch ein mehrdimensionale reellwertiger^[1] Vektorraum $V:=\mathbb {R} ^{n}$ oder auch ein Funktionenraum $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ sein.

Einführendes Beispiel

Die Zufallsvariable $X:\Omega \to V$ ordnet einem Ergebnis $\omega \in \Omega$ ein Funktion $v:=X(\omega )\to V$ zu. $v:[a,b]\to \mathbb {R}$ . Die Funktion $v\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ entspricht einer Messung, die mit $v$ z.B. jeder Drehzahl $d\in [a,b]$ eine bestimmte $CO_{2}$ -Emission $v(d)$ zuordnet.

Funktionen als Versuchsergebnis

Der Graph der Funktion $v:[a,b]\to \mathbb {R}$ ein funktionswertiges Ergebnis einer Zufallsgröße $X(\omega )=v$ . Ein Beispiel eines konkreten Ergebnisses der Zufallsgröße mit $[a,b]=[1,7]$ wird im Folgenden als Graph dargestellt.

Ein weiteres Messergebnis liefert dann ggf. einen anderen Graph.

Interpretation des Graphen

Auf der $x$ -Achse ist dann eine Drehzahl angegeben. $d=2$ bedeutet dann z.B. 2000 Umdrehungen pro Minute und $v(d)$ entspricht dann der gemessenen $CO_{2}$ -Emission zur Drehzahl $d$ . Der gesamte Graph von $v$ ist dann ein gemessenes Ergebnis in dem Vektorrraum $V$ .

Verteilung auf Funktionenräumen

In diesem Beispiel wird des Funktionenraum $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ des stetigen Funktionen von dem Intervall $[a,b]$ in die reellen Zahl $\mathbb {R}$ als topologischer Vektorraum betrachtet. In Analogie zu eindimensionalen reellwertigen Zufallsvariablen mit $X(\omega )\in \mathbb {R}$ werden nun

Erwartungswerte in Funktionenräumen und
Varianz in Funktionenräumen betrachtet

Diskrete Verteilung auf Funktionenräumen

Zunächst werden diskrete endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Funktionenräumen betrachtet. Im einfachsten Fall ist die Verteilung eine diskrete Gleichverteilung. Es werden in diesem Beispiel 4 Versuche $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4}\in \Omega$ durchgeführt. $v_{k}:=X(\omega _{k})\in V$ entspricht dann vier verschiedenen Graphen von Funktionen.

Beispiele für zugeordnete Funktionen

$v_{1}:=X(\omega _{1})$ mit $v_{1}(d):=sin(d)$
$v_{2}:=X(\omega _{2})$ mit $v_{2}(d):=cos(d)$
$v_{3}:=X(\omega _{3})$ mit $v_{3}(d):={\frac {d^{2}}{5}}-1$
$v_{4}:=X(\omega _{4})$ mit $v_{4}(d):={\frac {d^{3}}{10}}$

Veranschaulichung der Funktionen

Definition - funktionswertiger Erwartungswert

Sei $V\subseteq {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {R} )$ ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ , dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {R}$ . Ferner sei $(\Omega ,P)$ diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann sei $X:\Omega \to V$ eine Zufallsvariable in $V$ , dann heißt

E(X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot P(\lbrace \omega \rbrace )=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P(X=v)

Erwartungswert von $X:\Omega \to V$ , vorausgesetzt, dass $\sum _{v\in X(\Omega )}|v|\cdot P(X=v)$ mit $|v|\in V$ als Folge der Partialsummen im topologischen Vektorraum $V$ konvergiert.

Bemerkung - Induzierte Verteilung

In der Definition kann man aber auch die Notation der induzierten Verteilung P_X:\mathcal{B} \to [0,1] verwenden:

E(X)=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P(X=v)=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P_{X}(\lbrace v\rbrace )

Dabei entspricht für $X:\Omega \to V$ die Notation $(X=v)$ einer messbaren Menge $A\in {\mathcal {S}}$ aus der $\sigma$ -Algebra ${\mathcal {S}}$ mit

A:=\{\omega \in \Omega \,:\,X(\omega )=v\}

Bemerkung - Betrag einer Funktion

Stellt der Erwartungswert eine unendliche Reihe mit einem abzählbaren Träger dar, so entspricht die Reihe der Folge der Partialsummen. Die Partialsumme der Reihe sind endlich und damit wohldefinierte Elemente aus $V$ . Es entsteht eine Folge und diese Folge der Funktionen müssen "absolut konvergieren". Dabei verlangt man, dass $|v|\in V$ mit $|v|:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ mit $|v|(d):=|v(d)|$ für alle $d\in \mathbb {D}$

Bemerkung - Erwartungsfunktion

Für die Erwartungsfunktion benötigte man als algebraische Verknüpfung bei einer diskreten Verteilung die innere und äußere Verknüfung auf dem Funktionenraum $V$ als topologischem Vektorraum.

die äußere Verknüpfung der Multiplikation mit Skalare $\cdot :\mathbb {R} \times V\to V$ für Multiplikation einer Wahrscheinlichkeit mit einem Skalar und
die innere Verknüpfung $+:V\times V\to V$ für Addition der skalar gestreckte/gestauchten Funktionen mit der Wahrscheinlichkeit.

Bemerkung - Erwartungswert als Linearkombination

$E(X)$ ist im mit einem endlichen Träger von $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ eine Linearkombination in $V$ , da die Wahrscheinlichkeiten Skalare in $\mathbb {R}$ und $X(\omega )$ als Funktionen Vektoren im dem Vektorraum $V$ sind. Da sich die Skalare/Wahrscheinlichkeiten nicht-negativ und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergibt, handelt es sich sogar um eine Konvexkombination.

Anwendung auf das Beispiel - Funktionenraum

Zunächst erhält man bei endlicher Gleichverteilung auf den Träger $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ folgende elementare Wahrscheinlichkeitsverteilung.

P(X=v_{1})=P(X=v_{2})=P(X=v_{3})=P(X=v_{4})={\frac {1}{4}}

Damit ergibt sich für den Erwartungswert die folgende Darstellung: $E(X)=\sum _{v\in X(\Omega )}v\cdot P(X=v)=\sum _{k=1}^{4}v_{k}\cdot {\frac {1}{4}}$

Erwartungswert als Graph einer Funktion

Als Konvexkombination/Linearkombination im Funktionenraum ist der Erwartungswert $E(X)\in V$ selbst eine Funktion. Die vier Einzelfunktionen $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ sind nun in grau geplottet und die Erwartungswert als Funktion $e\in V$ in rot.

Varianzfunktion

Die Erwartungsfunktion $E(X)$ mit einer Zufallsvariable $X:\Omega \to V$ in einen reellwertigen Funktionenraum $V$ dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung $P_{X}$ von $X$ . Wir definieren nun eine Streuungsfunktion als Maß der Abweichung der Verteilung $P_{X}$ von der Erwartungsfunktion.

Definition - Varianzfunktion

Ist $X:\Omega \to V$ Zufallsvariable auf $(\Omega ,P,{\mathcal {S}})$ und liefert $E(X^{2})\in V$ eine wohldefinierte Funktion in dem reellwertigen Funktionenalgebra $V$ , so heißt $Var(X)=E((X-E(X))^{2})=E(X^{2})-E(X)^{2}$ Varianzfunktion von $X$ , und $\sigma (X)={\sqrt {Var(X)}}$ Standardabweichung von $X$ .

Bemerkung - Varianzfunktion

inneren und äußeren Verknüpfungen auf einem topologischen Vektorraum auch eine Multiplikation als innere Verknüpfung bei einer diskreten Verteilung auf dem Funktionenraum $V$ und damit eine topologische Algebra.

äußere Verknüpfung der Multiplikation mit Skalare $\cdot :\mathbb {R} \times V\to V$ für Multiplikation einer Funktion mit einer Wahrscheinlichkeit/Skalar und
die innere Verknüpfung $+:V\times V\to V$ für Addition der skalar gestreckte/gestauchten Funktionen mit der Wahrscheinlichkeit.
innere multiplikative Verknüpfung $\cdot :V\times V\to V$

Bemerkung - Multiplikation in einem reellwertigen Funktionenraum

Sei $V\subseteq {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {R} )$ ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ , dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {R}$ .

$f,g\in V$ ist eine Funktion $f:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$
$f\cdot g\in V$ ist ebenfalls eine Funktion $f\cdot g:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ mit $(f\cdot g)(d):=f(d)\cdot g(d)\in \mathbb {R}$

Bemerkung - Quadrat einer Zufallsvariable im Funktionenraum

Sei $V\subseteq {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {R} )$ ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ , dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {R}$ .

$f:=X(\omega )\in V$ ist eine Funktion $f:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$
$f^{2}:=X(\omega )^{2}\in V$ ist ebenfalls eine Funktion $f^{2}:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ mit $f^{2}(d):=(f(d))^{2}\in \mathbb {R}$

Varianz - diskrete Verteilung auf Funktionenraum

Ferner sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann sei $X:\Omega \to V$ eine Zufallsvariable in $V$ , dann heißt

Var(X)=\sum _{\omega \in \Omega }(X(\omega )-E(X))^{2}\cdot P(\lbrace \omega \rbrace )=\sum _{v\in X(\Omega )}(v-E(X))^{2}\cdot P(X=v)

Varianzfunktion von $X:\Omega \to V$ , vorausgesetzt, dass $\sum _{v\in X(\Omega )}|v|^{2}\cdot P(X=v)$ mit $|v|^{2}\in V$ als Folge der Partialsummen im topologischen Vektorraum $V$ konvergiert

Aufgaben für Studierende

Berechnen Sie die Varianzfunktion $v:=Var(X)$ in dem obigen Beispiel und plotten Sie diese in Geogebra.
Übertragen Sie das obige Beispiel in Geogebra und plotten Sie mit $e:=E(X)$ die beiden Funktionen $e-v$ und $e+v$ und interpretieren Sie, welche Aussage die Varianzfunktion über die endliche diskrete Verteilung im Funktionenraum macht!

Varianzfunktion

Die folgende Abbildung zeigt die Varianzfunktion in blauer Farbe und die Erwartungsfunktion in rot.

Varianzumgebung um die Erwartungsfunktion

Die Streuung um die Erwartungfunktion ist bei reellenwertigen Zufallsgrößen bekannt (wie z.B. bei der Normalverteilung). Mit der Varianzfunktion entsteht eine Varianzumgebung mit $E(X)-Var(X)\in V$ und $E(X)+Var(X)\in V$ um die Erwartungsfunktion.

Graphische Darstellung der Varianzumgebung

Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Legende

grau sind die Funktionen $v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V$ markiert, von denen die Erwartungsfunktion $e\in V$ und die Varianzfunktion $v\in V$ gebildet werden.
$e\in V$ rot ist die Erwartungsfunktion
blau gepunkte ist berechnete Varianzfunktion $v\in V$ markiert
blau ist $v_{+}:=E(X)+Var(X)\in V$ als obere Grenze der Varianzumgebung markiert
blau ist $v_{-}:=E(X)-Var(X)\in V$ als untere Grenze der Varianzumgebung markiert

Bemerkung - Umgebungen in Funktionenräumen

Durch die blau markierten Funktionen $v_{+}:=E(X)+Var(X)\in V$ als obere Grenze und $v_{-}:=E(X)-Var(X)\in V$ als untere Grenze wird eine Umgebung im Funktionenraum definiert. Eine Funktion $f\in V$ ist ein Element dieser Umgebung, wenn $f(d)<v_{+}(d)$ und $f(d)>v_{-}(d)$ für alle $d\in \mathbb {D}$ gilt, d.h. dass der Funktiongraph von $f$ in dem von dem $v_{+}$ und $v_{-}$ einschachtelten Bereich im $\mathbb {R} ^{2}$ verläuft.