Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume
Einleitung Bearbeiten
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Zielsetzung Bearbeiten
Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, den Begriff der reellwertigen Zufallsvariable mit dem Wertebereich zu verallgemeinern und mit einer Zufallsvariable einem Ergebnis ein Element zuordnet. Dabei kann natürlich klassisch ein mehrdimensionale reellwertiger[1] Vektorraum oder auch ein Funktionenraum sein.
Einführendes Beispiel Bearbeiten
Die Zufallsvariable ordnet einem Ergebnis ein Funktion zu. . Die Funktion entspricht einer Messung, die mit z.B. jeder Drehzahl eine bestimmte -Emission zuordnet.
Funktionen als Versuchsergebnis Bearbeiten
Der Graph der Funktion ein funktionswertiges Ergebnis einer Zufallsgröße . Ein Beispiel eines konkreten Ergebnisses der Zufallsgröße mit wird im Folgenden als Graph dargestellt.
Ein weiteres Messergebnis liefert dann ggf. einen anderen Graph.
Interpretation des Graphen Bearbeiten
Auf der -Achse ist dann eine Drehzahl angegeben. bedeutet dann z.B. 2000 Umdrehungen pro Minute und entspricht dann der gemessenen -Emission zur Drehzahl . Der gesamte Graph von ist dann ein gemessenes Ergebnis in dem Vektorrraum .
Verteilung auf Funktionenräumen Bearbeiten
In diesem Beispiel wird des Funktionenraum des stetigen Funktionen von dem Intervall in die reellen Zahl als topologischer Vektorraum betrachtet. In Analogie zu eindimensionalen reellwertigen Zufallsvariablen mit werden nun
- Erwartungswerte in Funktionenräumen und
- Varianz in Funktionenräumen betrachtet
Diskrete Verteilung auf Funktionenräumen Bearbeiten
Zunächst werden diskrete endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Funktionenräumen betrachtet. Im einfachsten Fall ist die Verteilung eine diskrete Gleichverteilung. Es werden in diesem Beispiel 4 Versuche durchgeführt. entspricht dann vier verschiedenen Graphen von Funktionen.
Beispiele für zugeordnete Funktionen Bearbeiten
- mit
- mit
- mit
- mit
Veranschaulichung der Funktionen Bearbeiten
Definition - funktionswertiger Erwartungswert Bearbeiten
Sei ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie , dem Definitionsbereich und dem Wertebereich . Ferner sei diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann sei eine Zufallsvariable in , dann heißt
Erwartungswert von , vorausgesetzt, dass mit als Folge der Partialsummen im topologischen Vektorraum konvergiert.
Bemerkung - Induzierte Verteilung Bearbeiten
In der Definition kann man aber auch die Notation der induzierten Verteilung P_X:\mathcal{B} \to [0,1] verwenden:
Dabei entspricht für die Notation einer messbaren Menge aus der -Algebra mit
Bemerkung - Betrag einer Funktion Bearbeiten
Stellt der Erwartungswert eine unendliche Reihe mit einem abzählbaren Träger dar, so entspricht die Reihe der Folge der Partialsummen. Die Partialsumme der Reihe sind endlich und damit wohldefinierte Elemente aus . Es entsteht eine Folge und diese Folge der Funktionen müssen "absolut konvergieren". Dabei verlangt man, dass mit mit für alle
Bemerkung - Erwartungsfunktion Bearbeiten
Für die Erwartungsfunktion benötigte man als algebraische Verknüpfung bei einer diskreten Verteilung die innere und äußere Verknüfung auf dem Funktionenraum als topologischem Vektorraum.
- die äußere Verknüpfung der Multiplikation mit Skalare für Multiplikation einer Wahrscheinlichkeit mit einem Skalar und
- die innere Verknüpfung für Addition der skalar gestreckte/gestauchten Funktionen mit der Wahrscheinlichkeit.
Bemerkung - Erwartungswert als Linearkombination Bearbeiten
ist im mit einem endlichen Träger von eine Linearkombination in , da die Wahrscheinlichkeiten Skalare in und als Funktionen Vektoren im dem Vektorraum sind. Da sich die Skalare/Wahrscheinlichkeiten nicht-negativ und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergibt, handelt es sich sogar um eine Konvexkombination.
Anwendung auf das Beispiel - Funktionenraum Bearbeiten
Zunächst erhält man bei endlicher Gleichverteilung auf den Träger folgende elementare Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Damit ergibt sich für den Erwartungswert die folgende Darstellung:
Erwartungswert als Graph einer Funktion Bearbeiten
Als Konvexkombination/Linearkombination im Funktionenraum ist der Erwartungswert selbst eine Funktion. Die vier Einzelfunktionen sind nun in grau geplottet und die Erwartungswert als Funktion in rot.
Varianzfunktion Bearbeiten
Die Erwartungsfunktion mit einer Zufallsvariable in einen reellwertigen Funktionenraum dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung von . Wir definieren nun eine Streuungsfunktion als Maß der Abweichung der Verteilung von der Erwartungsfunktion.
Definition - Varianzfunktion Bearbeiten
Ist Zufallsvariable auf und liefert eine wohldefinierte Funktion in dem reellwertigen Funktionenalgebra , so heißt Varianzfunktion von , und Standardabweichung von .
Bemerkung - Varianzfunktion Bearbeiten
inneren und äußeren Verknüpfungen auf einem topologischen Vektorraum auch eine Multiplikation als innere Verknüpfung bei einer diskreten Verteilung auf dem Funktionenraum und damit eine topologische Algebra.
- äußere Verknüpfung der Multiplikation mit Skalare für Multiplikation einer Funktion mit einer Wahrscheinlichkeit/Skalar und
- die innere Verknüpfung für Addition der skalar gestreckte/gestauchten Funktionen mit der Wahrscheinlichkeit.
- innere multiplikative Verknüpfung
Bemerkung - Multiplikation in einem reellwertigen Funktionenraum Bearbeiten
Sei ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie , dem Definitionsbereich und dem Wertebereich .
- ist eine Funktion
- ist ebenfalls eine Funktion mit
Bemerkung - Quadrat einer Zufallsvariable im Funktionenraum Bearbeiten
Sei ein topologischer Funktionenvektorraum mit Topologie , dem Definitionsbereich und dem Wertebereich .
- ist eine Funktion
- ist ebenfalls eine Funktion mit
Varianz - diskrete Verteilung auf Funktionenraum Bearbeiten
Ferner sei diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann sei eine Zufallsvariable in , dann heißt
Varianzfunktion von , vorausgesetzt, dass mit als Folge der Partialsummen im topologischen Vektorraum konvergiert
Aufgaben für Studierende Bearbeiten
- Berechnen Sie die Varianzfunktion in dem obigen Beispiel und plotten Sie diese in Geogebra.
- Übertragen Sie das obige Beispiel in Geogebra und plotten Sie mit die beiden Funktionen und und interpretieren Sie, welche Aussage die Varianzfunktion über die endliche diskrete Verteilung im Funktionenraum macht!
Varianzfunktion Bearbeiten
Die folgende Abbildung zeigt die Varianzfunktion in blauer Farbe und die Erwartungsfunktion in rot.
Varianzumgebung um die Erwartungsfunktion Bearbeiten
Die Streuung um die Erwartungfunktion ist bei reellenwertigen Zufallsgrößen bekannt (wie z.B. bei der Normalverteilung). Mit der Varianzfunktion entsteht eine Varianzumgebung mit und um die Erwartungsfunktion.
Graphische Darstellung der Varianzumgebung Bearbeiten
Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File
Legende Bearbeiten
- grau sind die Funktionen markiert, von denen die Erwartungsfunktion und die Varianzfunktion gebildet werden.
- rot ist die Erwartungsfunktion
- blau gepunkte ist berechnete Varianzfunktion markiert
- blau ist als obere Grenze der Varianzumgebung markiert
- blau ist als untere Grenze der Varianzumgebung markiert
Bemerkung - Umgebungen in Funktionenräumen Bearbeiten
Durch die blau markierten Funktionen als obere Grenze und als untere Grenze wird eine Umgebung im Funktionenraum definiert. Eine Funktion ist ein Element dieser Umgebung, wenn und für alle gilt, d.h. dass der Funktiongraph von in dem von dem und einschachtelten Bereich im verläuft.
Quellennachweise Bearbeiten
- ↑ Grimm, L. G., & Yarnold, P. R. (1995). Reading and understanding multivariate statistics. American Psychological Association.
Siehe auch Bearbeiten
Seiteninformation Bearbeiten
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Wiki2Reveal Bearbeiten
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