Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Hauptidealbereichen/Textabschnitt/latex

\setcounter{section}{3}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{,} \definitionsverweis {nullteilerfreier}{}{,} von $0$ verschiedener \definitionsverweis {Ring}{}{} heißt \definitionswort {Integritätsbereich}{.}

}




\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim_ist_irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{

In einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} stets \definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}

}
{

Angenommen, wir haben eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ps }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{psb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(1-sb) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{sb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sodass also $b$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}





\inputdefinition
{}
{

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißen \definitionswort {assoziiert}{,} wenn es eine \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ub }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}






\zwischenueberschrift{Hauptidealbereiche}


\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} in dem jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist, heißt \definitionswort {Hauptidealbereich}{.}

}




\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Hauptidealbereich/Kleinstes_Gemeinsames_Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,}
\mathl{a_i\in R, i\in I}{,} eine Familie von Elementen und
\mathl{\mathfrak a =\bigcap_{i\in I}(a_i)}{} der Schnitt der davon \definitionsverweis {erzeugten Hauptideale}{}{.} Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist genau dann ein \definitionsverweis {kleinstes gemeinsames Vielfaches}{}{} von
\mathl{a_i, i\in I}{,} wenn
\mathl{(a) = \mathfrak a}{,} wenn $a$ also
\mathl{\mathfrak a}{} als \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} erzeugt.

}
{

Ein Element
\mathl{x\in \mathfrak a}{} ist ein Vielfaches aller
\mathl{a_i, i\in I}{,} also nach Definition ein \definitionsverweis {gemeinsames Vielfaches}{}{} und jedes gemeinsame Vielfache liegt in
\mathl{\mathfrak a}{.} Ein erzeugendes Element des Ideals
\mathl{\mathfrak a}{} ist Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen und daher nach Definition ein \definitionsverweis {kleinstes gemeinsames Vielfaches}{}{} und jedes kleinste gemeinsame Vielfache erzeugt
\mathl{\mathfrak a}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt}
{Satz}
{Lemma von Bezout}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gilt:}
\faktfolgerung {Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1 , \ldots , r_n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n }
{ = }{ d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Darstellung der $1$.}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ (d) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir behaupten, dass $d$ ein \definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{} der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} ist. Die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_i) }
{ \subseteq }{ I }
{ = }{ (d) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zeigen, dass es sich um einen \definitionsverweis {gemeinsamen Teiler}{}{} handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{.} Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (d) }
{ = }{ I }
{ \subseteq }{(e) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was wiederum
\mathl{e {{|}} d}{} bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ I }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Im teilerfremden Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ = }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt}
{Satz}
{Lemma von Euklid}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.

}
{

Da \mathkor {} {a} {und} {b} {} teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra+sb }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc }
{ = }{da }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} {c1 }
{ =} {c(ra+sb) }
{ =} {cra +csb }
{ =} {acr +ads }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {a(cr+ds) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,} was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.

}





\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist ein Element genau dann \definitionsverweis {prim}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Lemma 3.2 stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{pc }
{ = }{ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p) }
{ \subset }{ (p,a) }
{ = }{(d) }
{ \subset }{ R }
{ }{ }
} {}{}{} der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$.

}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{

In einem \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} lässt sich jede \definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} Elementen darstellen.

}
{

Angenommen, jede Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ p_1 \cdots p_k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette
\mathl{a_1 =a, a_2, a_3, \ldots}{,} wobei
\mathl{a_{n+1}}{} ein nicht-trivialer Teiler von $a_n$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1) }
{ \subset} { (a_2) }
{ \subset} { (a_3) }
{ \subset} { \cdots }
{ } { }
} {}{}{.} Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe 3.14 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

}





\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt}
{Satz}
{}
{

In einem \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} lässt sich jede \definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} darstellen als Produkt von \definitionsverweis {Primelementen}{}{.} Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_i$ Repräsentanten sind.

}
{

Die erste Aussage folgt direkt aus Lemma 3.9 und Lemma 3.8.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} { u \cdot p_1 \cdots p_k }
{ =} { v \cdot q_1 \cdots q_m }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und es eine Permutation $\tau$ auf
\mathl{\{ 1 , \ldots , k \}}{} gibt derart, dass $p_i$ und $q_{\tau(i)}$ assoziiert sind für alle
\mathl{i \in \{ 1 , \ldots , k \}}{.} Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$. Es sei zuerst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {das sei zugelassen} {} {.} Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet.

Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_k$ das Produkt rechts teilt. Da $p_k$ prim ist, muss $p_k$ nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_m$ von $p_k$ geteilt wird. Da $q_m$ ebenfalls prim ist, sind $q_m$ und $p_k$ assoziiert. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_m }
{ =} {wp_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_k$ kürzen und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u \cdot p_1 \cdots p_{k-1} }
{ =} { (vw) \cdot q_1 \cdots q_{m-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Induktionsvoraussetzung liefert dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k-1 }
{ = }{m-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dass jedes $p_i$ zu einem $q_j$ assoziiert ist.

}


Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.


\inputdefinition
{Faktorieller Bereich}
{

Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} heißt \definitionswort {faktorieller Bereich}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind. \aufzaehlungzwei {Jedes \definitionsverweis {irreduzible Element}{}{} in $R$ ist \definitionsverweis {prim}{}{.} } {Jedes Element
\mathbed {a \in R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {,} ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen. }

}





\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie (Z)/Z ist faktoriell/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

}
{

Dies folgt sofort aus Satz 3.10.

}





\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
\mathdisp {a = u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} \mbox{ und } b = v \cdot p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k}} { }
\zusatzklammer {wobei die Exponenten auch $0$ sein können und $u,v$ Einheiten sind} {} {.} Dann gilt
\mathl{a {{|}} b}{} genau dann, wenn
\mathl{r_i \leq s_i}{} ist für alle Exponenten
\mathl{i=1, \ldots ,k}{.}

}
{

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i -r_i }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und man kann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} { a { \left( vu^{-1} p_1^{s_1-r_1} \cdots p_k^{s_k-r_k} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen \zusatzklammer {siehe Satz 3.10} {} {.}

}





\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt}
{Satz}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent. \aufzaehlungdrei{$p$ ist ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} }{
\mathl{R/(p)}{} ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} }{
\mathl{R/(p)}{} ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} }

}
{

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} \zusatzklammer {auch für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{p }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {,} siehe Aufgabe 3.23 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)), und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{R/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \notin }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es ergibt sich eine echte Idealinklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p) }
{ \subset }{(a,p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ferner können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p) }
{ = }{ (b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{cb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $c$ keine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist und $p$ prim \zusatzklammer {also nach Lemma 3.2 auch irreduzibel} {} {} ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p) }
{ = }{ (1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und das bedeutet modulo $p$, also in
\mathl{R/(p)}{,} dass $a$ eine Einheit ist. Also ist
\mathl{R/(p)}{} ein Körper.

}







\zwischenueberschrift{ $K[X]$ euklidischer Hauptidealbereich}


\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionswort {euklidischer Bereich}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {euklidischer Ring}{}} {} {} ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$, für den eine Abbildung \maabb {\delta} { R \setminus \{0\} } { \N } {} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente
\mathl{a , b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . }

}




\inputbemerkung
{}
{

Für einen Körper $K$ ist der Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion $\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring
\mathl{K[X]}{} und $\mathbb Z$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(fg) }
{ =} { \delta(f) + \delta(g) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}




\inputfaktbeweis
{Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}

}
{

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \delta(a) \mid a \in I , \, a \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element
\mathl{b \in I, \, b \neq 0}{,} herrührt, sagen wir
\mathl{m= \delta(b)}{.} Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Dabei ist die Inklusion \anfuehrung{$\supseteq$}{} klar. Zum Beweis der Inklusion \anfuehrung{$\subseteq$}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{qb+r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(r) }
{ < }{ \delta (b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Minimalität von $\delta(b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.

}





\inputfaktbeweis
{Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{}}
\faktfolgerung {ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies ist eine direkte Folge von Bemerkung 3.16 und Lemma 3.17.

}