Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 6
- Verklebungen
Ziel ist es, an einen gegebenen topologischen Raum etwas anzukleben, um einen neuen topologischen Raum zu erhalten. Verklebungen kann man in großer Allgemeinheit diskutieren; besonders relevant ist jedoch der Spezialfall des Anklebens von Zellen. Als erstes diskutieren wir Verklebungen, bei denen nichts verklebt wird. Diese Verklebungen nennt man auch disjunkte Vereinigungen.
Wie bei den Produkten gibt es auch die disjunkte Vereinigung beliebig vieler topologischer Räume. Des weiteren hat auch die disjunkte Vereinigung eine universelle Eigenschaft, deren Formulierung und Beweis der geneigten Leserin überlassen wird.
Bevor echte Verklebungen in Erscheinung treten können, ist noch ein Begriff erforderlich.
Es sei eine abgeschlossene Einbettung und eine stetige Abbildung. Der Quotientenraum der disjunkten Vereinigung bezüglich der von
erzeugten Äquivalenzrelation wird mit bezeichnet. Man sagt, der Raum entsteht durch Verkleben von und entlang . Die Abbildung ist die Anklebe-Abbildung.
Es sei und die konstante Abbildung, dann ist . Ist hingegen die Identität, so ist . Die beiden Räume sind nicht topologisch äquivalent.
Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn
- , oder
- , oder
- , oder
gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung muss nicht injektiv sein.) Ist irgendeine Teilmenge, so ist
Insbesondere ist in abgeschlossen genau dann, wenn in abgeschlossen ist, also ist eine abgeschlossene Einbettung. Ist irgendeine Teilmenge, so ist
Somit ist offen in genau dann, wenn offen ist in , also ist eine offene Einbettung.
dass und gilt.
Dies folgt aus den entsprechenden universellen Eigenschaften der disjunkten Vereinigung bzw. des Quotientenraumes.
Es sei eine Menge und für jedes eine stetige Abbildung gegeben. In anderen Worten, man hat eine stetige Abbildung
Der Raum
und eine topologische Äquivalenz derart gibt, dass die kanonische Abbildung ist.
Sphäre, Torus, Fläche vom Geschlecht g.
<< | Kurs: Topologie (Osnabrück 2008-2009) | >>
|
---|