Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal
Einleitung
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Zielsetzung
BearbeitenDiese Lernressource hat das Ziel, den Zusammenhang von Äquivalenzklassen bis hin zum Ideal zu behandeln. Die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den damit zusammenhängenden Aspekten führen dann zu eine Quotientenraum bzgl. eines Ideals , der dann die Algebraerweiterung bildet, in der ein invertierbar ist.
Einführung
BearbeitenUnter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Äquivalenzrelationen sind für die Mathematik und für die Logik von großer Bedeutung. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt. Die Klassenbildung mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes zerlegt den Polynomraum in Mengen, die dann die Elemente der Algebraerweiterung bilden.
Äquivalenz
BearbeitenIn der Mathematik werden Objekte, die sich in einem bestimmten Zusammenhang gleichen, als gleichwertig bzw. äquivalent angesehen. Auf Polynomraum werden dabei zwei Polynome als äquivalent angesehen, wenn die Differenz also ein Element eines Ideals ist.
Äquivalenz als spezielle Relation
BearbeitenEin solcher Zusammenhang lässt sich für alle Elemente einer nichtleeren Menge stets durch eine Relation darstellen, indem man genau dann zwei Elemente als zueinander „äquivalent“ bezeichnet und diese Beziehung durch symbolisiert, wenn das Paar also ein Element der Relation ist. Diese Relation wird zu einer Äquivalenzrelation, wenn 3 Eigenschaften erfüllt sind.
Definition - Äquivalenzrelation
BearbeitenEine Relation auf einer nichtleeren Menge heißt Äquivalenzrelation, wenn diese die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:
- (Refexivität) Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.
- (Symmetrie) Wenn äquivalent zu ist, dann ist auch äquivalent zu .
- (Transitivität) Wenn äquivalent zu und äquivalent zu ist, dann ist auch äquivalent zu .
Äquivalenzrelation
BearbeitenEine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine zweistellige Relation , die folgende Bedingungen erfüllt:
- Reflexivität
- für alle .
- Symmetrie
- für alle .
- Transitivität
- und für alle .
Schreibweise
BearbeitenWie bei zweistelligen Relationen üblich, schreibt man statt auch einfacher , dann nehmen diese Eigenschaften die oben genannte Form an.
Polynomalgebra - Relation
BearbeitenDie Polynome stehen in Relation , wenn gilt . Dabei ist ein Ideal bzw. das abgeschlossene Hauptideal bzgl. und mit die gesuchte Algebraerweiterung.
Beispiel
Bearbeiten- Gleichheit von Brüchen ist eine Äquivalenzrelation , Dabei gibt es unterschiedliche Zahldarstellungen, die die gleiche Zahl darstellen.
- Den gleichen Anfangsbuchstaben beim Nachnamen zu haben, fasst Namen zu einer Äquivalenzklasse zusammen, die den gleichen Anfangsbuchstaben besitzen (hilfreich bei alphabetischen Ordnungsprinzipien in Telefonbüchern und Nachschlagewerken).
- Bei Restklassen werden ganze Zahlen zu einer Äquivalenzklasse zusammengefasst, wenn diese bei Division den gleichen Rest lassen.
Terminologie
BearbeitenDas geordnete Paar nennt man in diesem Fall auch Setoid oder E-set (englische Bezeichnung: extensional set, auch Bishop set).[1]
Äquivalenzklassen
BearbeitenIst eine Äquivalenzrelation auf einer Menge (Klasse) , so nennt man die Teilmenge (bzw. Teilklasse)
- ,
aller zu äquivalenten Elemente, die -Äquivalenzklasse von .
Ist aus dem Kontext klar, dass Äquivalenzklassen bezüglich gebildet werden, lässt man den Zusatz weg:
- ,
andere Schreibweisen sind
- sowie .
Repräsentantensysteme
BearbeitenElemente einer Äquivalenzklasse werden ihre Vertreter oder Repräsentanten genannt. Jedes Element von ist in genau einer Äquivalenzklasse enthalten. Die Äquivalenzklassen zu je zwei Elementen sind entweder gleich oder disjunkt. Ersteres genau dann, wenn die Elemente äquivalent sind:
- .
Eine Teilmenge nennt man ein (vollständiges) Vertreter- oder Repräsentantensystem von , wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein gibt mit .
Quotientenmenge und Partition
BearbeitenDie Faktor- oder Quotientenmenge einer Äquivalenzrelation auf der Menge ist die Menge aller Äquivalenzklassen:
- .
Sie bildet eine Zerlegung oder Partition von .
Ist umgekehrt eine Partition von , dann ist durch
eine Äquivalenzrelation gegeben.
Mächtigkeit
BearbeitenDie Mächtigkeit (Kardinalität) wird manchmal auch als der Index der Äquivalenzrelation bezeichnet. Ein Spezialfall ist der Index einer Untergruppe.
Quotientenabbildung
BearbeitenDie surjektive Funktion
- ,
die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet, heißt kanonische Abbildung oder Quotientenabbildung.
Bemerkung - Quotientenabbildung
BearbeitenDiese Abbildung ist nur dann injektiv, wenn es sich bei der Äquivalenzrelation auf um die Identitätsrelation handelt.
Homomorphismen
BearbeitenHomomorphismen als strukturerhaltende Abbildungen findet man z.B. bei
- Gruppenhomomorphismen,
- Vektorraumhomomorphismen (Lineare Abbildungen)
- Algebrahomomorphismen (Vektorräume mit eine Multiplikation als innere Verknüpfung)
liefern als Eigenschaften die Verträglichkeit mit den Verknüpfungen auf dem Grundraum.
Gruppenhomomorphismus
BearbeitenGegeben seien zwei Gruppen und Eine Funktion heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente gilt:
Vektorraumhomomorphismus - Lineare Abbildung
BearbeitenGegeben seien zwei Vektorräume und . Eine Funktion heißt Vektorraumhomomorphismus oder linear, wenn für alle Elemente und gilt:
- und
Dabei wurden hier die innere additive Verknüpfung und äußere Verknüpfung einmal indiziert, um deutlich zu machen, dass es sich um unterschiedliche Verknüpfungen handelt. Diese Unterscheidung wird in der Regel vernachlässigt.
Algebrahomomorphismus
BearbeitenGegeben seien zwei Algebren und . Eine Funktion heißt Algebrahomomorphismus, wenn für alle Elemente und gilt:
- und
Dabei wurden die multiplikative innere Verknüpfungen bzw. zur Unterscheidung mit der Multiplikation mit Skalaren bzw. unterschiedlich bezeichnet. Diese Unterscheidung wird in der Regel vernachlässigt und wurde nur hier zur Darstellung der Strukturerhaltung verwendet.
Beispiele
BearbeitenNutztiere in einem landwirtschaftlichen Betrieb
BearbeitenEin anschauliches Beispiel aus der Landwirtschaft soll die eingeführten Begriffe verdeutlichen. Betrachtet wird eine Menge von Nutztieren in einem landwirtschaftlichen Betrieb. Wir definieren die folgende zweistellige Relation auf :
- Für je zwei Nutztiere und aus soll genau dann gelten, wenn und Tiere derselben Art sind.
Für die Kuh und den Ochsen gilt immer . Für das Huhn dagegen gilt dies aber nicht: . Die Relation erfüllt die drei Forderungen für Äquivalenzrelationen:
- Reflexivität
- Jedes Tier ist von derselben Art wie es selbst (im Sinne von: Jedes Tier gehört einer Art an).
- Symmetrie
- Ist ein Tier von derselben Art wie ein zweites, dann ist das zweite auch von derselben Art wie das erste.
- Transitivität
- Wenn und Tiere derselben Art sind und ebenso und von derselben Art sind, dann sind auch und von derselben Art (nämlich von der Art, zu der dann jedes der drei Tiere gehört).
Eine Äquivalenzklasse besteht hier aus den Tieren einer Art. Die Rinder bilden eine und die Hühner eine andere Äquivalenzklasse. Die Quotientenmenge ist die Menge der Tierarten des landwirtschaftlichen Betriebes.
Ähnlichkeit und Kongruenz geometrischer Figuren
BearbeitenZwei geometrische Figuren und in der euklidischen Ebene sind genau dann einander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführt werden können. Durch die Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation
- und sind einander ähnlich
auf der Menge aller Figuren der Ebene gegeben.
Darüber hinaus sind und genau dann kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung, also eine längentreue Ähnlichkeitsabbildung, ineinander überführt werden können. Auch durch
- und sind kongruent
ist eine Äquivalenzrelation auf gegeben.
Partition einer endlichen Zahlenmenge
BearbeitenWir definieren zunächst sechs Mengen von natürlichen Zahlen von 1 bis 23:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Sie haben die Eigenschaft, dass jede Zahl aus dem Bereich von 1 bis 23 in genau einer der sechs Mengen vorkommt, die damit eine Zerlegung oder Partition der Menge bilden. Wie jede Partition von sind sie die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf , nämlich
- .
Die Mengen wurden durch Würfeln ermittelt, also willkürlich aus den rund 44 Billiarden[2] Partitionen – und damit ebenso vielen Äquivalenzrelationen – dieser 23-elementigen Menge ausgewählt. Äquivalente Zahlen nach dieser Relation weisen keine einfach beschreibbaren Gemeinsamkeiten auf.
- Äquivalenzklasse eines Elementes ist diejenige Menge , die enthält.
- Die Quotientenmenge ist die sechselementige Menge .
Rationale Zahlen
BearbeitenEs sei die Menge der Paare ganzer Zahlen, deren zweiter Eintrag von Null verschieden ist. Für zwei Paare soll folgende Äquivalenz gelten:
- .
- Die Äquivalenzklasse des Paares ist dann der Bruch oder (totale) Quotient .
- Mit der Quotientenmenge erhält man gerade die Menge der rationalen Zahlen .
Kommensurabilität reeller Zahlen
BearbeitenZwei reelle Zahlen und heißen kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl sind. Kommensurabilität ist eine Äquivalenzrelation, wenn man die Null gesondert betrachtet:
mit als der multiplikativen Gruppe von .
- Äquivalenzklasse einer reellen Zahl ist die Menge der mit kommensurablen Zahlen, die für abzählbar unendlich ist.
- Die Quotientenmenge ist überabzählbar. Anders als bei anderen ähnlich einfachen Äquivalenzrelationen bietet sich hier jedoch kein Repräsentantensystem an.
- Die Multiplikation ist mit verträglich, denn ist und , dann folgt z. B. aus
- Die reelle Addition ist jedoch nicht mit verträglich, denn z. B. ist , aber also
Topologische Äquivalenz von Metriken
Bearbeitensei ein metrischer Raum und
- offen in
die zu gehörende Topologie. Ist eine weitere Metrik auf und deren zugehörige Topologie, dann heißen und topologisch äquivalent, wenn und übereinstimmen:
- .
Erzeugung von Äquivalenzrelationen
BearbeitenEine Äquivalenzrelation explizit zu beschreiben ist manchmal nicht einfach. Oft möchte man eine Äquivalenzrelation konstruieren, die gewisse vorgegebene Elemente miteinander identifiziert und zugleich gewisse Eigenschaften erhält, beispielsweise eine Kongruenzrelation ist (siehe unten).
Sei eine beliebige Relation auf der Menge . Als Äquivalenzhülle von bezeichnet man die kleinste Äquivalenzrelation, die als Teilrelation enthält, in Zeichen:
- ist Äquivalenzrelation auf mit [3]
Es gilt: Die Äquivalenzhülle ist die reflexiv-transitive Hülle der symmetrischen Hülle, formal:
- .
Dabei bezeichnet die symmetrische Hülle,[4] die konverse (inverse) Relation und Potenzen von Relationen werden vermöge Verkettung gebildet.
Spezielle Äquivalenzen
BearbeitenGleichmächtigkeit von Mengen
BearbeitenZwei beliebige Mengen und sind gleichmächtig genau dann, wenn es eine Bijektion gibt. Durch die Festlegung
- und sind gleichmächtig
ist eine Äquivalenz auf der Klasse aller Mengen gegeben.
Isomorphie von Strukturen
BearbeitenStrukturen und nennt man isomorph genau dann, wenn es eine strukturverträgliche Bijektion gibt, für die auch strukturverträglich ist. Die Isomorphie von Strukturen ist eine Äquivalenz
- und sind isomorph.
Kongruenzrelation
BearbeitenEine Äquivalenzrelation auf einer Menge hat nicht notwendigerweise etwas mit der Struktur zu tun, die darauf definiert ist. Von besonderem Interesse sind jedoch solche Äquivalenzrelationen , deren Quotientenabbildung
mit der Struktur auf verträglich bzw. ein Homomorphismus ist, weil dann die von erzeugte Struktur auf der Quotientenmenge von der gleichen Art ist wie die von . Eine solche Äquivalenzrelation nennt man eine Kongruenzrelation auf der strukturierten Menge .
Insbesondere sind dann auch alle zur Struktur gehörenden Funktionen mit verträglich.
Verallgemeinerungen
BearbeitenPartielle Äquivalenzrelation
BearbeitenEine zweistellige Relation auf einer Menge nennt man beschränkte oder partielle Äquivalenzrelation, wenn sie symmetrisch und transitiv ist.
Jede partielle Äquivalenzrelation auf einer Menge ist auf der Untermenge
eine totale Äquivalenzrelation. Die durch die Äquivalenzklassen definierte Zerlegung von heißt auch partielle Zerlegung von .
Eine partielle Äquivalenzrelation kann auf verschiedene Weise zu einer (totalen) Äquivalenzrelation fortgesetzt werden:
- Jedes bildet eine eigene Äquivalenzklasse :
- Alle bilden eine einzige Äquivalenzklasse :
Das Ergebnis ist jeweils eine totale Zerlegung von .
Jede partielle Funktion nach einer beliebigen anderen Menge erzeugt eine partielle Äquivalenzrelation
- für alle .
Umgekehrt liefert eine partielle Äquivalenzrelation auf stets eine surjektive partielle Quotientenabbildung
- für alle .
Quasiordnung
BearbeitenEine zweistellige Relation auf einer Menge heißt Prä- oder Quasiordnung, wenn sie reflexiv und transitiv ist.
Eine Relation auf ist genau dann eine Quasiordnung, wenn für alle gilt:
- .
Durch jede Quasiordnung auf ist eine Äquivalenzrelation auf gegeben durch die Festlegung
- und .
Zwei Elemente sind also äquivalent, wenn sie gegenseitig vergleichbar sind.
Toleranzrelation
BearbeitenEine zweistellige reflexive und symmetrische Relation wird Verträglichkeits-[5] oder Toleranzrelation[6] genannt (im endlichen Fall auch Abhängigkeitsrelation). Da eine Toleranzrelation nicht transitiv sein muss, ist Toleranz eine schwächere Forderung als Äquivalenz. Sie spielt eine Rolle in der Biomathematik und der Modelltheorie, in der Fuzzylogik wird sie zudem noch weiter verallgemeinert.[7]
Bezeichne eine Toleranzrelation auf der Menge (oder Klasse) . Eine Teilmenge (oder -klasse) heißt Verträglichkeits- oder Toleranzpräklasse, falls alle miteinander tolerant sind:[6]
- .
Eine maximale Präklasse ,[6] also wenn jedes mit mindestens einem nicht tolerant ist, nennt man wiederum eine Verträglichkeits- bzw. Toleranzklasse.
Die Menge der Toleranzklassen[8] einer Toleranzrelation auf der Menge ist eine Überdeckung von .
Weitere Äquivalenzbegriffe
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01638-8.
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.
- Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert: Halbringe. Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
- Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 10). Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.
- Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Bände 1 und 2. 9. und 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1991 und 1992, ISBN 3-423-03007-0 und ISBN 3-423-03008-9.
- Matthias Schubert: Mathematik für Informatiker. Ausführlich erklärt mit vielen Programmbeispielen und Aufgaben. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1848-5, doi:10.1007/978-3-8348-1995-6.
- Siegfried Wendt: Nichtphysikalische Grundlagen der Informationstechnik. Interpretierte Formalismen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1991, ISBN 978-3-540-54452-4 (Verträglichkeitsrelation in der Google-Buchsuche).
Weblinks
BearbeitenVorlage:Wikiversity Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Äquivalenzrelation – Lern- und Lehrmaterialien
Aufgaben für Studierende
BearbeitenQuellennachweise
Bearbeiten- ↑ Alexandre Buisse, Peter Dybjer: The Interpretation of Intuitionistic Type Theory in Locally Cartesian Closed Categories – an Intuitionistic Perspective. In: Electronic Notes in Theoretical Computer Science. Band 218, 22. Oktober 2008, S. 21–32, hier S. 24, doi:10.1016/j.entcs.2008.10.003.
- ↑ Vorlage:OEIS
- ↑ Johannes Köbler: Einführung in die Theoretische Informatik. Humboldt-Universität zu Berlin, S. 38 (WS 2011/12 [PDF; abgerufen am 10. Dezember 2018] Vorlesungsskript).
- ↑ Notation wie in Symmetric Closure, auf: ProofWiki vom 12. September 2016
- ↑ Man unterscheide den Begriff der mit Relationen verträglichen Abbildung: Homomorphismus als strukturverträgliche Abbildung.
- ↑ a b c Vladimir Borschev, Barbara H. Partee: Linguistics 726: Mathematical Linguistics. Fall semester 2006. University of Massachusetts Amherst, S. 16 (Lectures 1-3. Basic Concepts of Set Theory, Functions and Relations; and Trees [PDF; abgerufen am 10. Dezember 2018] Course script).
- ↑ M. Das, M. K. Chakraborty, T. K. Ghoshal: Fuzzy tolerance relation, fuzzy tolerance space and basis. In: Fuzzy Sets and Systems. Band 97, Nr. 3, 1. August 1998, S. 361–369, doi:10.1016/S0165-0114(97)00253-4.
- ↑ Diese lassen sich bei jeder symmetrischen Relation (= partielle Toleranzrelation) bilden.
Siehe auch
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