Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 4

Injektivität und Surjektivität

Aufgabe

Eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

heißt streng wachsend, wenn für alle ${}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit ${}x_{1}<x_{2}$ auch ${}f(x_{1})<f(x_{2})$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion ${}f$ injektiv ist.

Aufgabe

Untersuche für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe

Zeige, dass weder die Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

noch die Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}P$ eine Menge von Personen und ${}V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und ${}N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von ${}P$ nach ${}V$, nach ${}N$ und nach ${}V\times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}a,b\in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von ${}M$ nach ${}M$, die ${}a$ und ${}b$ vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.

(Eine solche Abbildung heißt Transposition).

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe

Man beschreibe eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.

Zeige durch Beispiele, dass bei den beiden vorhergehenden Aufgaben die Umkehrung nicht gilt.

Graph einer Abbildung

Aufgabe *

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung mit dem Graphen ${}\Gamma _{f}\subseteq L\times M$. Zeige, dass die Abbildung

$\psi =\operatorname {Id} _{L}\times f\colon L\longrightarrow L\times M,\,x\longmapsto (x,f(x)),$

eine Bijektion zwischen ${}L$ und dem Graphen ${}\Gamma _{f}$ induziert. Was ist die Verknüpfung von ${}\psi$ mit der zweiten Projektion

$p_{2}\colon L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y?$

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und wie sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vorstellen?

Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und den Graphen der reellen Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

Mengenkonstruktionen und Abbildungen

Aufgabe *

Seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Man mache sich diese Situation für ${}M=N=[0,1]$ und ${}L=\mathbb {R}$ klar.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\times L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,L\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

${\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}M=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$. Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn ${}A$ und ${}B$ zwar eine Vereinigung von ${}M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}T,T_{1},T_{2}\subseteq M$):

1. ${}F^{-1}(T_{1}\cap T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cap F^{-1}(T_{2})\,,$

2. ${}F^{-1}(T_{1}\cup T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cup F^{-1}(T_{2})\,,$

3. ${}F^{-1}(M\setminus T)=L\setminus F^{-1}(T)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(L)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,S\longmapsto F(S),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}S,S_{1},S_{2}\subseteq L$):

1. ${}F(S_{1}\cap S_{2})\subseteq F(S_{1})\cap F(S_{2})$,
2. ${}F(S_{1}\cup S_{2})=F(S_{1})\cup F(S_{2})$,
3. ${}F(L\setminus S)\supseteq F(L)\setminus F(S)$.

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

Abbildungen in der Aussagenlogik

Aufgabe

Interpretiere die Wahrheitstabellen zu den Junktoren ${}\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ als Wertetabellen von Funktionen. Was sind die Definitions-, die Werte- und die Bildmengen dieser Funktionen?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge von Aussagenvariablen und ${}S$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von ${}M$ ausgehend mittels der Junktoren ${}\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ und mit Klammern sinnvoll basteln kann. Zeige, dass es zu einer gegebenen Belegungsfunktion

$\beta \colon M\longrightarrow \{w,f\},\,p\longmapsto \beta (p),$

eine eindeutig bestimmte Fortsetzung

${\tilde {\beta }}\colon S\longrightarrow \{w,f\}$

gibt, die die Bedeutung (die Wahrheitsfunktion) der Junktoren respektiert.

Aufgabe

Es sei ${}V$ eine Menge von Aussagenvariablen und ${}\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache ${}L^{V}$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Abbildung und es sei ${}\varphi (\alpha )$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in ${}\alpha$ jede Aussagenvariable ${}p$ durch ${}\varphi (p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}\alpha$ eine Tautologie ist, so ist auch ${}\varphi (\alpha )$ eine Tautologie.
2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für ${}\varphi (\alpha )$ gilt.
3. ${}\varphi (\alpha )$ kann eine Tautologie sein, auch wenn ${}\alpha$ keine Tautologie ist.
4. Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch Kontradiktion ersetzt.

Abbildungen aus dem Leben

Die folgenden drei Aufgaben sind eher zum Diskutieren als zum Abgeben.

Aufgabe

Man mache sich klar, in welcher Weise die in der Vorlesung angeführten Diagramme Abbildungen darstellen.

Aufgabe

Modelliere eine Bundestagswahl mit Hilfe von geeigneten Abbildungen.

Aufgabe

Studiere die Abbildungen, die in den folgenden Diagrammen beschrieben werden. Ist das Vokabular sinnvoll? Inwiefern sind die Abbildungen politisch, inwiefern mathematisch festgelegt?

Fußnoten